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数列を教えて下さい。 1,2,…,nの相異なる2数の積の全ての和をS(n)とする。 例え...

kid513513さん

2007/12/518:10:53

数列を教えて下さい。
1,2,…,nの相異なる2数の積の全ての和をS(n)とする。
例えば、S(3)=1×2+1×3+2×3=11である。
S(n)をnの4次式で表して下さい。
答えはn(n+1)(n-1)(3n+2)/24らしいのですが、なぜそうなるかわかりません。お願いします。

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get_hachiさん

2007/12/518:41:56

(1+2+3+・・・+(n-1)+n)*(1+2+3+4+・・・+(n-1)+n)
を展開すると求める値に「近い」ものが出てくるのがわかりますか?

たとえばS(3) を例にとると
(1+2+3)*(1+2+3)=1^2+1*2+1*3+2*1+2^2+2*3+3*1+3*2+3^2 てなかんじです。
よく見ると 1~3までの2乗が邪魔です。
なので2乗を引くと、
(1+2+3)*(1+2+3)-1^2-2^2-3^2=1*2+1*3+2*1+2*3+3*1+3*2

またまたよく見ると、求めたいものの2倍が求まっていることがわかります。


よって、

2S(n)
=(1+2+3+・・・+(n-1)+n)*(1+2+3+4+・・・+(n-1)+n)-(1^2+2^2+・・・(n-1)^2+n^2)
=n^2(n+1)^2/4-n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(n-1)(3n+2)/12

以上より、
S(n)=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24

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ベストアンサー以外の回答

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編集あり2007/12/600:07:24

※BAは get_hachiさん か sinnisi0709さん、または後着の方々から選択して下さい!!!!!

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1313685873
で解いていますが、当該質問者に、この質問の抹消を強く要望しています。

念のため、再録します。前半部分が、貴殿の質問と合致するでしょう。
最後の「検算」も、元原稿のまま引用します。

--------------------
質問番号: 13,685,873
だれか教えてください。数列の問題です。

数列1,2,3,・・・,nにおいて
(1)異なる2項ずつの積の和を求めよ。
(2)(1)において連続しない2整数の和を求めよ。

質問した人: apple15rkさん

回答

回答番号: 43,124,187

(1)
1(1 + 2 + 3 + … + n) - 1^2
+
2(1 + 2 + 3 + … + n) - 2^2
+
3(1 + 2 + 3 + … + n) - 3^2
+



+
n(1 + 2 + 3 + … + n) - n^2
= (1 + 2 + 3 + … + n)^2 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2)
を考え、更にこれを2で割るとよい。2で割る理由は、たとえば、1×2と2×1のように、同じ組み合わせの積をそれぞれ2回ずつ数えているため。
ここで、
1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2
1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n (n + 1) (2 n + 1)/6
であるので、求める和は、
[{n (n + 1)/2}^2 - {n (n + 1) (2 n + 1)/6}]/2
= {n (n + 1)/2} [{n (n + 1)/2} - {(2 n + 1)/3}]/2
= n (n + 1) [{n (n + 1)/2} - {(2 n + 1)/3}]/4
= n (n + 1) {3 n (n + 1) - 2 (2 n + 1)}/24
= n (n + 1) (3 n^2 - n - 2)/24
= n (n + 1) (n - 1) (3 n + 2)/24
= (n - 1) n (n + 1) (3 n + 2)/24

(2)
「(1)において連続しない2整数の 積 の 和を求めよ。」と解釈します。
ここから、更に、
1・2 + 2・3 + 3・4 +…+ (n-1)n
を引く。この項数が n - 1 個であることに注意する。積の左側の数に着目すると、一般項はk(k+1)である。
Σ(k = 1~n-1) k = n (n - 1)/2
Σ(k = 1~n-1) k^2 = n (n - 1) (2 n - 1)/6
を利用する(この積は本来、n = 1 の時は定義できないが、数式上 n = 1 の時、Σの式は双方とも0になるので、計算にそのまま使える)。
Σ(k = 1~n-1) k・(k+1) = Σ(k = 1~n-1) (k^2 + k) = {n (n - 1) (2 n - 1)/6} + {n (n - 1)/2}
= {n (n - 1)/2} [{(2 n - 1)/3} + 1] = {n (n - 1)/6} {(2 n - 1) + 3}
= n (n - 1) (2 n + 2)/6 = n (n - 1) (n + 1)/3

以上より、題意の式は、
{n (n + 1) (n - 1) (3 n + 2)/24} - {n (n - 1) (n + 1)/3}
= {n (n - 1) (n + 1)/3} [{(3 n + 2)/8} - 1]
= {n (n - 1) (n + 1)/24} {(3 n + 2) - 8}
= n (n - 1) (n + 1) (3 n - 6)/24
= n (n - 1) (n + 1) (n - 2)/8
= (n - 2) (n - 1) n (n + 1)/8

[検算]
(1)
(n - 1) n (n + 1) (3 n + 2)/24
n = 1 では 0(別の2項の積は定義不可)
n = 2 では、2
(数列に立ち返ると、満足する組は 1×2 のみ)
n = 3 では、11
(数列に立ち返ると、満足する組は 1×2、1×3、2×3 があり、その和は11)
n = k の時の成立を仮定すれば、和は、
(k - 1) k (k + 1) (3 k + 2)/24
になる。ここに、第(k + 1)項を考慮すると、この和に、
(k + 1) {1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1)} - (k + 1)^2 = (k + 1) {1 + 2 + 3 +…+ k} = k {(k + 1)^2}/2
を加えればよい。計算を実行すると、
{(k - 1) k (k + 1) (3 k + 2)/24} + k {(k + 1)^2}/2
= {k (k + 1)/2} [{(k - 1) (3 k + 2)/12} + (k + 1)]
= {k (k + 1)/24} {(k - 1) (3 k + 2) + 12 (k + 1)}
= {k (k + 1)/24} {(3 k^2 - k - 2) + 12 k + 12}
= {k (k + 1)/24} (3 k^2 + 11 k + 10)
= {k (k + 1)/24} (3 k + 5) (k + 2)
= k (k + 1) (k + 2) (3 k + 5)/24
= k (k + 1) (k + 2) {3 (k + 1) + 2}/24
で、n = k+1 の場合にも成立。

(2)
(n - 2) (n - 1) n (n + 1)/8
n = 1、n = 2 では 0(非隣接項の積は、この場合は定義不可)
n = 3 では、3
(数列に立ち返ると、満足する組は 1×3 のみ)
n = 4 では、15
(数列に立ち返ると、満足する組は 1×3、1×4、2×4 があり、その和は15)
n = k の時の成立を仮定すれば、和は、
(k - 2) (k - 1) k (k + 1)/8
になる。ここに、第(k + 1)項を考慮すると、この和に、
(k + 1) {1 + 2 + 3 +…+ (k - 1) + k + (k + 1)} - k (k + 1) - (k + 1)^2
= (k + 1) {1 + 2 + 3 +…+ (k - 1)} = (k - 1) k (k + 1)/2
を加えればよい。計算を実行すると、
{(k - 2) (k - 1) k (k + 1)/8} + {(k - 1) k (k + 1)/2} = {(k - 1) k (k + 1)/2} [{(k - 2)/4} + 1]
= {(k - 1) k (k + 1)/8} {(k - 2) + 4} = {(k - 1) k (k + 1)/8} (k + 2)
= (k - 1) k (k + 1) (k + 2)/8
で、n = k+1 の場合にも成立。

※こんな回答に、BAなんか、不必要、かつ、不愉快です。
BAは他回答者から選定されるか、他回答者がいなければ、こんな質問、トットと抹消して下さい!!!!! !!!!! !!!!! !!!!!
--------------------

※こんな安直、かつ、無精な回答に対して、BAなんか、いりません!!!!!!!!!!
こんな回答で、BAにされるのが、小生にとって、非常に不愉快だからです!!!!!!!!!!

sinnisi0709さん

2007/12/518:59:53

まず1からnの自然数の2乗の和をT(n)とおきますね。
(1+2+・・・・+n)^2 =2S(n)+T(n)
が成り立つのは明らかですね。
それから
(1+2+・・・・+n)=1/2 n(n+1)
であることは知ってますか?

すると2S(n)+T(n)=1/4 n^2 (n+1)^2
が得られます。Sに2がかけられているのは重複を考慮するためです。
最後にT(n)=1/6 n(n+1)(2n+1)
を代入すると
その答えが得られます。

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