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拡大次数と最小多項式 [K(α):K]=nで、根αを持つn次多項式p(x)がある。 この...

oom********さん

2014/11/423:31:26

拡大次数と最小多項式

[K(α):K]=nで、根αを持つn次多項式p(x)がある。

この条件でp(x)が最小多項式であると言えますか?

例えば、
[Q(√2,√3):Q]=[Q(√2,√3):Q(√2)]*[Q(√2):Q]=2×2=4
で、Q(√2,√3)/Qは4次拡大と示し、Q(√2+√3)=Q(√2,√3)なので、
α=√2+√3
とおいて作った多項式が、p(x)=x^4-10x^2+1である。
拡大次数は4次で、p(x)はαを根に持つ4次式であるので、最小多項式になる。

といった具合です。つまり、既約判定の変わりに、すでに拡大次数が分かっている場合、根αを持つ多項式の次数を比べるだけで良いのか?ということです。

α=√2+√3 から、4次式p(x)をつくり、それが既約かどうか判定する。
既約⇒p(x)最小多項式である。
といった方法でやることは多いですが、上のような方法は正しいのでしょうか?

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2014/11/500:04:29

[K(α):K]=nで、根αを持つK係数n次モニック多項式p(x)があるとき、
p(x)はαのK上の最小多項式です。

(証明)
αのK上の最小多項式をf(x)とすると
p(x)∈K[x]で、p(α)=0だから
p(x)はf(x)で割り切れるので
p(x)=q(x)f(x)(q(x)∈K[x])と表わされます。

ここで、deg p(x)=deg f(x)=nだから
deg q(x)=0
そして、p(x)とf(x)の最高次係数はともに1なので
q(x)=1
すなわち、p(x)=f(x)

したがって、p(x)はαのK上の最小多項式です。
(証明終わり)

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