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2直線 3x−y+2=0, x−2y−2=0 のなす角θ(ただし、0≦θ≦90°)を求めよ。 この問題の解...

ari********さん

2015/1/615:59:46

2直線 3x−y+2=0, x−2y−2=0 のなす角θ(ただし、0≦θ≦90°)を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。

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tan********さん

2015/1/619:31:30

2直線の交角はtanの加法定理を利用する方が解きやすいです.

3x-y+2=0 より y=3x+2 …①
x-2y-2=0 より y=(1/2)x-1 …②

直線①,②と x 軸の正の方向とのなす角をそれぞれ,α,β とすると,
tanα=3,tanβ=1/2 が分かります.

また,求めるなす角θ については,図をかくと θ=α-β となっていることが分かるので,tanの加法定理を利用して,
tanθ
tan(α-β)
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
={3-(1/2)}/{1+3・(1/2)}
=(5/2)/(5/2)
=1 となりました.

いま,0°≦θ≦90° なので,tanθ=1 を満たす θ の値は,θ=45° と求めることができました.

別解として,法線ベクトルを利用してなす角を求める方法があります.

直線 ax+by+c=0 の法線ベクトル(→n) の一つは,(→n)=(a,b) であることを利用します.
ちなみに,(→n)=(a,b) が法線ベクトルの一つであるということは,(→n)を実数倍すればいくつでも法線ベクトルが存在するからです.

3x-y+2=0 の法線ベクトルの一つを(→p)とすると,(→p)=(3,-1)
x-2y-2=0 の法線ベクトルの一つを(→q)とすると,(→q)=(1,-2)

これより
|→p|=√{3²+(-1)²}=√10
|→q|=√{1²+(-2)²}=√5
(→p)・(→q)=3・1+(-1)・(-2)=5 なので,
求める2直線のなす角θは,各直線の法線ベクトルのなす角に等しいので,
cosθ={(→p)・(→q)}/{|→p||→q|}
=(5)/{(√10)・(√5)}
=1/√2

いま,0°≦θ≦90° なので,cosθ=1/√2 を満たす θ の値は,θ=45° と求めることができました.

質問した人からのコメント

2015/1/6 22:29:21

感謝 ありがとうございました!

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