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ワイエルシュトラウスのM判定法の証明について ワイエルシュトラウスの定理はWi...

sit********さん

2015/4/115:12:00

ワイエルシュトラウスのM判定法の証明について

ワイエルシュトラウスの定理はWikipediaの、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E...
の通りとします。

ここに書かれているのもそうなのですが、どの教科書をみても、
関数列f_nに対して、
任意のn≧1にたいして|f_n(x)|≦Mnが成り立つならば~~という前提で書かれています。

私の疑問は以下で、

このnは別にn≧1の任意ではなく、とある自然数Nが存在して、
Nから先、つまりn≧Nで|f_n(x)|≦Mnが成り立ち、ΣMnが収束するならば、関数項級数が一様収束するといっても良いと思うのですが、違うのでしょうか。

なぜならば、
ΣMnが収束する
⇔任意の正数εに対して、自然数N'が存在して、n>m≧N⇒|M_(m+1)|+...+|M_n|<ε

仮定より、とある自然数N''が存在し、n≧N''ならば、|f_n(x)|≦|Mn|が成り立つ。
N'とN’’で、大きい方をNとすれば、
n>m≧N⇒
|f_(m+1)(x)+...+f_n(x)|≦|f_(m+1)(x)|+...+|f_n(x)|
≦|M_(m+1)|+...+|M_n|<ε

が成り立つ。だから、Σf_nも一様収束する。



どんな教科書にも任意のn≧1の前提なので少し疑問に思いました。
どなたか助言をください。

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ts3********さん

2015/4/119:47:16

>このnは別にn≧1の任意ではなく、とある自然数Nが存在して、
>Nから先、つまりn≧Nで|f_n(x)|≦Mnが成り立ち、ΣMnが収束するならば、関>数項級数が一様収束するといっても良いと思うのですが

その通りです。
級数の収束(および一様収束)は、初項から第何項までが問題なのではなく、その先の項が問題なのですから、
Σ[n=1,∞] f_n(x)=Σ[n=1,N-1] f_n(x) + Σ[n=N,∞] f_n(x)
と分けて、Σ[n=N,∞] f_n(x) の部分が一様収束すれば(Σ[n=1,N-1] f_n(x) の部分は有限項の和だから、なんの問題もないので)Σ[n=1,∞] f_n(x) は一様収束することになります。

質問した人からのコメント

2015/4/2 20:46:32

安心しました。
ありがとうございます。

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