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数学の問題で手こずっているので、よろしくお願いします。 ※解答頂いたら再度解き...

z9o********さん

2015/6/717:11:48

数学の問題で手こずっているので、よろしくお願いします。 ※解答頂いたら再度解きなおし、また分からない所等出てきたら補足や個別のコメント欄にて質問させて頂いてます!>_<よろしくお願いします。

⑴∫[-π〜π]xsinxdxを求めよ。
⑵∫[-π〜π]sin2xsin3x dxを求めよ。
⑶m,nを自然数とする。∫[-π〜π]sinmxsinnx dxを求めよ。
⑷∫[-π〜π]{Σ(k=1〜2013)sinkx}^2 dxを求めよ。

〜〜〜私の解答〜〜〜
⑴ 与式=2π (偶関数なので。)
⑵ 与式=2/5
⑶sinmxsinnx=-(1/2){cos(m+n)x-cos(m-n)x}より

ⅰ )m≠nのとき
与式=0
ⅱ )m=nのとき
与式=π


一般的に、k=1〜nまででまず考えようと思いました。
∫[-π〜π](sinx+sin2x+…+sinnx)^2 dx

と展開しましたがここから解答に繋げることができません。詳しく解答してくださる方、よろしくお願いします。

sinmxsinnx dx,sin2xsin3x dx,xsinxdx,2 dx,xcos,xcosx,mx-nx

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ベストアンサーに選ばれた回答

bli********さん

2015/6/717:34:21

こんにちは
積分ですね

① ∫[-π,π]xsinxdx

部分積分します
=-xcosx+∫cosxdx
=[-xcosx+sinx](-π,π)
={π}-{-π}
=2π 正解

② ∫[-π,π]sin2xsin3xdx
=1/2∫{cos(2x-3x)-cos(2x+3x)}dx
=[sinx/2-sin(5x)/10](-π,π)
=0

③ ∫[-π,π]sin(mx)sin(nx)dx
ⅰ) m≠nのとき
=1/2∫{cos(mx-nx)-cos(mx+nx)}dx
=[sin(mx-nx)/2(m-n)-sin(mx+nx)/2(m+n)](-π,π)
=0
ⅱ) m=nのとき
=1/2∫(1-cos(2mx)}dx
=[x/2-sin(2mx)/4m](-π,π)
=π 正解

④ ∫[-π,π]{Σ[k=1,2013]sinkx}²dx
=∫{Σsin(mx)}{Σsin(nx)}dx
=ΣΣ∫sin(mx)sin(nx)dx
=2013π

  • 質問者

    z9o********さん

    2015/6/719:55:38

    解答ありがとうございます!
    ⑴〜⑶までも、解説をつけて下さり助かりました。

    ⑷についてなのですが、2行目から

    =∫{Σ(m=1〜2013)sin(mx)}{Σ(n=1〜2013)sin(nx)}dx

    ということでしょうか?
    また、その次の式のΣが二回続くものも詳しく教えて下さると嬉しいです。

    よろしくお願いします。

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質問した人からのコメント

2015/6/7 21:19:34

この度は、丁寧な解説をありがとうございました。
⑴〜⑶までの中でも、訂正などしてくださり
大変勉強になりました。

また機会がありましたら、
よろしくお願いします。

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