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数学で次の問題がわかりません。 関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが、x=-1のとき極大値...

rar********さん

2015/7/1321:02:25

数学で次の問題がわかりません。

関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが、x=-1のとき極大値3をとり、x=2のとき極小値をとる。
このときのa,b,cと極小値を求めよ。

a=-3/2,b=-6,c=23/2 と求めることができましたが合っているでしょうか?

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npn********さん

2015/7/1321:15:25

f'(x)=3x^2+2ax+b なので
f'(x)=0を計算すると、x=-1, 3となる。このことから
f'(-1)=3-2a+b=0
f'(3)=27+6a+b=0 となる よって
-2a+b=-3 …①
6a+b=-27 …②
を解けばいい。
①-②をすると
-8a=24 → a=-3
①に代入すると
b=-9

ここで関数f(x)は
f(x)=x^3-3x^2-9x+c となる
x=-1のとき極大値3をとることからf(-1)=3 よって
-1-3+9+c=3
よって
c=-2 となる。

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fuk********さん

2015/7/1321:27:52

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b=0 ・・・①
の2解が-1,2だから、①は
3(x+1)(x-2)=3x^2-3x-6
と一致する。係数を比較して、
a=-3/2,b=-6
であり、
f(x)=x^3-(3/2)x^2-6x+c
f(-1)=-1-3/2+6+c=3
∴c=-1/2
極小値は、
f(2)=8-6-12-1/2=-21/2

となるので、cが違います。
このあとに面積などの問題が続いていたら大変でした。
計算ミスって怖いですね。

bud********さん

2015/7/1321:49:34

rarabai88さん2015/7/1321:02:25
数学で次の問題がわかりません。

関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが、x=-1のとき極大値3をとり、x=2のとき極小値をとる。
このときのa,b,cと極小値を求めよ。
f'(x)=3(x+1)(x-2)=3(x+1)(x+1-3)
f(x)=(x+1)^2(2x-7)/2+3=x^3-3/2x^2-6x-1/2
a=-3/2
b=-6
c=-1/2

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