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正の整数nについて0<=x<=π/2の範囲においてsin4nx>=sinxを満たすxの区間の長さの総...

tak********さん

2015/9/1718:39:46

正の整数nについて0<=x<=π/2の範囲においてsin4nx>=sinxを満たすxの区間の長さの総和をSnとするとlim n→∞ Snを求めよ。

答えはπ/8です。
教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

shiorinjumpさん

2015/9/1817:15:23

0=<x<=π/2より、0=<sinx<=1
よって
2kπ=<sin4nx<=(2k+1)π(k=0、1、2、・・、n-1)

2kπ/4n=<x<=(2k+1)π/4nの区間において
sin4nx>=sinxとなる区間の長さ・・①を考察する
sin(2kπ/4n)=<sinx<=sin((2k+1)π/4n)

sin4n(2kπ/4n+α)=sin(2kπ/4n)となるαは
sin(2kπ+4nα)=sin(4nα)=sin(2kπ/4n)
よって
α=2kπ/(4n)^2

sin4n(2(k+1)π/4nーβ)=sin(2(k+1)π/4n)
となるβは
sin((2(k+1)πー4nβ)=sin(4nβ)
=sin(2(k+1)π/4n)
よって
β=2(k+1)π/(4n)^2

①の区間の長さは
π/4nー2α<①の区間の長さ<π/4nー2β

よって
lim(n→∞)Σ(k=0→n-1)(π/4nー4kπ/(4n)^2)
=<lim(n→∞)sn
<=lim(n→∞)Σk=0→n-1)
(π/4nー4(k+1)π/(4n)^2)

よって
lim(n→∞)(π/4ー(π/4n^2)(n-1)n/2)
=<lim(n→∞)sn
=<lim(n→∞)(π/4ー(π/4n^2)n(n+1)/2)

よって、lim(n→∞)sn=π/8

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

osa********さん

2015/9/1821:29:26

途中見にくかったら、申し訳ない

途中見にくかったら、申し訳ない

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