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線形代数の問題です。

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ID非公開さん

2016/1/3012:09:23

線形代数の問題です。

画像の問題を解くときに
1.固有方程式を解いて固有値を求める。
2.それぞれの固有値に対して固有ベクトルを求めるために行列の簡約化を行う
3.求めた固有ベクトルより対角化可能を判定
4.可能ならば固有ベクトルを並べる
この過程を通して解いているのですが、3次行列になると1,2の計算が面倒です。
1は工夫して計算できそうで出来ない
2は固有値が-1,1,3と3つ出てくるので、、、
計算に弱くても簡単に解く方法はありますか?
5分くらいで解きたいです。

固有ベクトル,固有値,線形代数,1 1 3,固有方程式,tea,8.000 14.000

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ベストアンサーに選ばれた回答

fra********さん

2016/1/3018:21:00

一般的にはご指摘の通り1-4の手続きを経て対角化および対角化する変換行列が算出されます。しかし3x3までなら問題を注意深く見ると、各段階で工夫できる場合もあります。質問にある問題も少しは簡単に解けそうです。

1。固有値の計算
固有方程式 det(tE-A)=
t-1,-2,7
-3,t-3,7 ・・・・・(*)
-1,-2,t+4
ですから,2,3列を1列に加えてやれば,1列はすべて t+1 になります。従って1列から t+1 をくくりだして,det(tE-A)=(t+1)x(次の行列式)
1,-2,7
1,t-3,7
1,-2,t+4
となります。2,3行から1行を引けば
1,-2,7
0,t-1,0
0,0,t-3
この行列式は三角行列なので、(t-1)(t-3) ですから det(tE-A)=(t+1)(t-1)(t-3) です。

*Sarrusの公式で展開すると因数分解は難しいでしょう。しかし通常は(特に意地悪な出題者でない限り)整数解を持つように問題が作られていることを期待しましょう。

以上で:
固有値が3個異なりますから、これで対角化可能であることが分かります。
さらに固有値 λ=1,3,-1 の固有空間の次元は1であることも分かりますので,固有ベクトルは1個選べばokです(簡約化を省ける可能性もあります)。これらの性質は

対角化可能 ⇔ 固有値λに対する固有空間の次元はλの重複度に等しい

により導かれます。

2,3.固有ベクトルの計算
W(1)={x|(E-A)x=0} は1次元です。係数行列は
-3,-2,7
-3,-2,7
-1,-2,5
です。係数行列を書く際(*)の行列に t=1 を代入すると間違いが少ないでしょう(行列の書き間違いに注意しましょう)。ここで基底として (1,2,1)’ を取れます(視察により)。ただし ‘ は転置ベクトルです。基底は1本ですから、z=c(任意定数)としてxyをcで表すことでも解けます。

W(-1)={x|(-E-A)x=0} も1次元です。係数行列は
-5,-2,7
-3,-4,7
-1,-2,3
です。固有ベクトルとして (1,1,1)’ が取れます(これも視察によります)。z=c(任意定数として)xyを求めてもokです。

W(3)={x|(3E-A)x=0} も1次元です。係数行列は
-1,-2,7
-3,0,7
-1,-2,7
です。
2行目のベクトルは (-3,0,7) ですからこれと直交するベクトルとして k(7,*,3) を取りましょう。kは定数、*は任意の実数です。このとき1行とも直交するものとして (7,7,3) を取れば、この1本が基底です。係数行列の成分に0があれば視察による発見が容易になります。

4.以上から P=
1,7,1
2,7,1
1,3,1
とすれば P^{-1}AP=
1,0,0
0,3,0
0,0,-1
となります。


その他の簡便法について:
固有値が3個異なる場合は上記のように少しは工夫できますが、この場合が最も計算が必要でしょう。
固有値が1個で3重解になるなら元の行列が単位行列の定数倍ですから、このような問題は出題されません。
従って残りは固有値が2個で1個は重解の場合です。固有値α、βとしてαが重解とします、固有方程式が (t-α)^2・(t-β) の場合です。このときは α の固有空間 W(α) の次元が2となることが、対角化できる必要十分条件です。W(α) の基底は2本ありますから、方程式 (αE-A) のランクは1です。つまり
W(α) ={x|ax+by+cz=0} の形になります。これから2本の基底を選べばよいのです。例えば (-1/a,0,1/c)’ と (-1/a,1/b,0)’ または (0,-1/b,1/c)’ など。

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質問した人からのコメント

2016/1/30 23:42:59

ありがとうございます
役に立ちました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

chu********さん

2016/1/3020:42:57

与行列 A =
4 2 _7
3 3 _7
1 2 _4 。
(負数は記号アンダーバー付きで示した。)

私のルーチン:
N_evec A

固有値 λ:
┌─┬─┬ ┐
│3│1│_1│
└─┴─┴ ┘

固有ベクトル:
下行列から縦ベクトルとして読む。

λ = 3 の時、

┌────────────┐
│ 14.000 0.000_14.000│
│ 14.000 0.000_14.000│
│ 6.000 0.000 _6.000│
└────────────

λ = 1
┌────────────┐
│ 4.000 _4.000 0.000│
│ 8.000 _8.000 0.000│
│ 4.000 _4.000 0.000│
└────────────┘

λ = _1

┌────────────┐
│ 2.000 _8.000 14.000│
│ 2.000 _8.000 14.000│
│ 2.000 _8.000 14.000│
└────────────┘

与行列の対角化の変換行列の例 P :

]P=.3 3 $ 14 4 2 14 8 2 6 4 2
14 4 2
14 8 2
6 4 2
行列式: det P -> 64 、 not 0 (正則)
逆行列 IP :
]IP=. %. P
0.125 0 _0.125
_0.25 0.25 0
0.125 _0.5 0.875
検算: IP ip P
1 0 0
0 1 0
0 0 1 確かに逆行列だ。

対角化:
IP ip A ip P
3 0 0
0 1 0
0 0 _1
固有値が対角線上に並ぶ。 (OK !)

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