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三角形ABCにおいてAB=1,BC=2,CA=√3である。正三角形PQRを辺PQ上に点Cが,辺QR上に点...

yn7********さん

2016/4/2316:35:11

三角形ABCにおいてAB=1,BC=2,CA=√3である。正三角形PQRを辺PQ上に点Cが,辺QR上に点Aが,辺RP上に点Bがあるようにつくる。

正三角形PQRの面積Sの取りうる値の範囲を求めよ。

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2016/4/2317:23:11

角PCB=xとおく。
三角形PBCにおいて正弦定理より、
2/sin(π/3)=PB/sinx
よって、
PB=(4/√3)sinx
角度CBA=π/3なので、
角BAR=(2π/3)-x
三角形ABRにおいて正弦定理より、
1/sin(π/3)=BR/sin((2π/3)-x)
BR=(2/√3)sin((2π/3)-x)
ゆえに、
正三角形の一辺の長さは、
PR=PB+BR
=(4/√3)sinx+(2/√3)sin((2π/3)-x)
=(5/√3)sinx+cosx
となる。
0<x<π, 0<(2π/3)-x<πなので、
0<x<2π/3となる。
求める面積Sは
S=(1/2)・PR^{2}sin(π/3)
=(√3/4)((25/3)(sinx)^{2}+(10/√3)sinxcosx+(cosx)^{2})
=(√3/4)((5/√3)sin2x-(11/3)cos2x+(14/3))
=(7√3/6)(sin(2x+α)+1)
ただし、tanα=-11√3/15 (-π/2<α<0)
である。
α<2x+α<4π/3+α
となるので、
sinα<sin(2x+α)<=1
となる。
sinα=-5√3/14なので、
求めるSの範囲は、
(-15+14√3)/12<S<=7√3/3
となる。

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