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不定積分の質問です! ∫X^3√(1-x^2) dx を不定積分すると 答えが -3/8(1-x^2...

mot********さん

2016/4/2813:44:41

不定積分の質問です!

∫X^3√(1-x^2) dx
を不定積分すると
答えが
-3/8(1-x^2)^4/3 +C
になるそうなのですが…

1-x^2 をuとして置換積分して見たのですが…
どうしてもこうなりません…

どなたかわかる方いらっしゃいましたら過程もふくめて教えて下さい。

よろしくお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

kah********さん

2016/4/2911:36:41

x=sinθとおくと
与式=∫sin^3θcos^2θdθ
=∫sinθ(1-cos^2θ)cos^2θdθ
=cos^3θ/3-cos^5θ/5
=(1-x^2)^(3/2)/3-(1-x^2)^(5/2)/5

とできます。

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nor********さん

2016/4/2814:23:41

I=∫x^3√(1-x^2) dx

u=√(1-x^2)

とおくと

x^2=1-u^2

2xdx=-2udu ⇒ xdx=-udu

I=∫x^3√(1-x^2) dx=∫[x^2√(1-x^2)] xdx

=∫(1-u^2)u(-udu)

=∫(u^2-1)u^2du

=∫(u^4-u^2)du

=u^5/5-u^3/3+C

=(u^2/5-1/3)u^3+C

=(3u^2-5)u^3/15+C

=-(3x^2+2)(1-x^2)^(3/2)/15+C

ari********さん

編集あり2016/4/2815:32:42

問題を ∫x・(1-x^2)^(1/3) dx と解釈すると、

1-x^2=t と置くと dx=-dt/(2x) 故、

∫x・(1-x^2)^(1/3)dx
=-(1/2)∫t^(1/3) dt
=-(3/8)・t^(4/3)+C
=-(3/8)・(1-x^2)^(4/3)+C




※ ∫x^3・√(1-x^2) dx の場合には √(1-x^2)=t と置くと、
dx=-(t/x)・dt
x^2=1-t^2

故、

∫x^3・√(1-x^2) dx
=∫(t^2-1)・t^2 dt
=∫t^4-t^2 dt
=(1/5)・t^5-(1/3)・t^3+C
=t^3・{(1/5)・t^2-(1/3)}+C
=(1-x^2)^(3/2)・{(1/5)・(1-x^2)-(1/3)}+C
=(1/15)・(1-x^2)^(3/2)・{3・(1-x^2)-5}+C
=-(1/15)・(3x^2+2)・(1-x^2)^(3/2)+C

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