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「自作問題25」 問題:∑[k=2,n]1/(Φ^(2k)+Φ^(-2k)+3*(-1)^k)=? (Φ:=(1+√5)/2) ...

mat********さん

2016/5/3120:12:41

「自作問題25」

問題:∑[k=2,n]1/(Φ^(2k)+Φ^(-2k)+3*(-1)^k)=? (Φ:=(1+√5)/2)

またもや突然現れました。

やっと僕の大好きな級数の範囲から出せました!!もっと一般的な方で出題すれば難易度も上がるでしょうがやはりこの形が一番綺麗なのでこっちを優先しました。難易度は、(ポリガンマ関数とか使わずに高校数学でなら)今回は(wolfram先生がギブアップだったこともあり)難しめなのではとは思いますがここのカテゴリのレベルを考えると可能性は多分それなりにあるのかもしれません。作るのは超簡単なのですが。とりあえず(僕の勉強にもなるので)高等理論を用いた比較的機械的な回答も大歓迎ではありますがやはり想定解以上の発想の面白さのある回答を優先的にBA候補とさせて下さい。それでは、レッツ・チャレンジ!

補足そういえば前回
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1115974406...
は∫[a,b]f(x)dx =Σ[k=1,n]f(a+(k+a[k])Δx)Δxの方が綺麗なのでこの場を借りて訂正しておきます。あとこの問題は正確には部分和であって級数とは言わないようですね、、、。

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

pro********さん

2016/6/521:31:23

前の回答者の解からヒントを得て、その解法とは趣向の異なるものを思いつきましたので紹介しておきます。

a=Φ, b=Φ^(-1), b'=-b, (与式)=∑(1/D)とします。

また、フィボナッチ数列(a_1=1, a_2=1)の一般項 a_nが
a_n=(a^n-b'^n)/√5
で与えられることは既知とします。

D=a^(2k)+b^(2k)+3*(-1)^k

b^(2k)=(-1)^(2k)*b^(2k)=(-b)^(2k)=b'^(2k)
a^2+b'^2=3, ab'=-1であることから

D=a^(2k)+b'^(2k)+(a^2+b'^2)*(ab')^(k-2)
=a^(2k)+b'(2k)+a^(k)*b'^(k-2)+a^(k-2)*b'^(k)
=a^(2k)+b'(2k)-a^(k+1)*b'^(k-1)-a^(k-1)*b'^(k+1)
=(a^(k+1)-b'^(k+1))(a^(k-1)-b'^(k-1))
=a_(k+1)*a_(k-1)*5

よって、
(与式)=(1/5)∑(1/a_(k+1)*a_(k-1))
部分分数分解とフィボナッチ数列の性質a_(n+1)-a_(n-1)=a_(n)を用いて
(与式)=(1/5)∑{(1/a_(k-1)*a_k)-1/a_k*a_(k+1)}
=(1/5)(1-1/a_n*a_(n+1))
=(1/5){1-1/(a^n-b'^n)(a^(n+1)-b'^(n+1))}
となります。

部分分数分解とフィボナッチ数列が関連するのは面白いですね。

  • 質問者

    mat********さん

    2016/6/522:36:03

    回答ありがとうございます。まさに想定解です!逆に辿れば作るのは超簡単、が実感頂けると思います。ちなみに 「可能性は多分それなりにある」 というのは「k=2スタート?→あ、k=1だと分母が0か→ということは Φ^2+Φ^(-2)=3→もしや分母は全部 Φの式で表せる、、、!?」という流れがあるかなと思っていたので。また ついでなので、これの機械的な解法ってあると思いますか?

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質問した人からのコメント

2016/6/7 20:51:45

迷ったのですがやはり 「想定解以上の発想の面白さのある回答を優先的にBA候補とさせて下さ い」としたのでこちらの方にします。 licked_mistake さんもありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

lic********さん

2016/6/507:11:11

これは、1,1,2,3,5,…というフィボナッチ数列のn項とn+2項の積を5倍した数の逆数和。
答えをa(n)/b(n)とおいて、具体的に調べてみると
a(n+4)=3a(n+3)-3a(n+1)+a(n)
b(n+3)=2b(n+2)+2b(n+1)-b(n)
という関係がありそう。
答えは
1/5+2^(n+1)/((-1)^n 2^(n+1)-(1-√5)(3-√5)^n -(1+√5)(3+√5)^n)
→1/5 (n→∞)
あくまで予想だから、証明は、自分でできる?

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