虚数を習う意味があまりにも分かりません。

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みなさんは、われわれも含めて抽象力の不足 ヘーゲル難しいと同じこと http://gotoclinic.org/timespace1.pdf ハイゼルベルク不確定性原理 数学 勉強の心構えの例 複素平面 http://pen.envr.tsukuba.ac.jp/~nishida/ http://pen.envr.tsukuba.ac.jp/~nishida/math_remedial.pdf 問67 xに関する2次方程式 ax2 +bx+c = 0 (3.45) の解の公式を導こう。ただし a, b, c は実数とし, a = 0 とする。 ( b )2 例 3.15 以下のような 2 次方程式を考えよう: x2 −2x+1=0 (3.44) これは,(x−1)2 =0と因数分解できるので,x=1だ (1) (3) x2 −x−6=0 (2) x2 −3x+2=0 x4 −5x2 +4=0 例 3.13 x2 −x−2=0 x2y + xy2 + xy = x + 1 などは代数方程式である。(例おわり) (1) (2) (3) 与式の両辺を a で割ってから平方完成し, 次式を 導け: (3.41) (3.42) ( b )2 b2 − 4ac x + 2a = 4a2 これを変形し, 次式を導け: √ x+ b =± b2−4ac 2a 2a (3.46) 代数方程式が成りたつような文字 (変数) の値を, 代数 方程式の 解 または 根 と呼ぶ。式 (3.41) の解 (根) は, x = −1, 2 である。 n を自然数とする。次数 n の多項式からなる代数方程 式を「n 次方程式」という。式 (3.41) は 2 次方程式で ある。 一般に, 代数方程式は, 多項式を因数分解し, 各因数を 0 とすることによって解く (解を求める) ことができる。 (3.47) これを変形し, 次式 (2 次方程式の解の公式) を導け: √ −b± b2−4ac (3.48) x= 2a この公式 (3.48) は, 1 変数の 2 次方程式ならどんなの も解いてくれる。 38 さて, 解の公式 (3.48) の中の, 平方根記号 の内側 を D と書いて, 2 次方程式の 判別式 と呼ぶ。すなわち, 2 である。係数 a, b, c が全て実数のとき, 判別式 D の正 負によって, 2 次方程式の解の様子は大きく異なること を説明しよう。判別式 D を使って式 (3.48) を書き換え ると, (3.50) 第3章 代数 −1 = i を使った)。 (3.54) よくある質問 43 これ, 高校でやったけど, 何の役に立つの でしょう? ... 光で食品検査をするときに, どの波長の光がど のくらい吸収されるかは, この虚数解の √D の部分で決まっ たりします。地震のときの建物の揺れ具合とかもそうです。 高校化学で「共有結合」を習ったでしょうけど, 共有結合には 「結合性軌道」と「反結合性軌道」というのがあって (大学で習 √ います), ± 2つの実数a,bと虚数単位iを用いて, a+biと書け る数を 複素数 という。 よくある質問 44 複素数と虚数はどう違うのですか? ... 虚 数は複素数の一種です。a + bi で, 特に b = 0 のときのことを 虚数というのです。b = 0 のときは a つまり実数になってし まいますから, 実数も複素数の一種です。要するに, 複素数は, 実数と虚数をひっくるめた数です。 ここでは証明はしないが, 次の定理が成り立つ: 次 数が n の 1 変数代数方程式は (n は自然数とする), 重 解を含めて, 複素数の範囲で n 個の解を持つ。これを 代数学の基本定理 という。この定理は「n 次の多項式 は, n 個の 1 次式の積で因数分解される」と言い換える ことができる。この定理の証明には大学の数学が必要な ので, 今は「そういうものか」と思っておいてほしい。 !! ● 問 68 次の方程式を複素数の範囲で解け。 D := b − 4ac (3.49) √ −3± 11i √ −b± D x= 2a となる。もし D=0 なら, −b x = 2a D は, そのエネルギーを表したりもします。 √√ (3.48) を使えば次式のようになる ( x= 2 となる。つまり式 (3.45) の解は 1 つだけ (それは重解で ある。理由は考えてみよう)。また, もし D = 0 なら, √√ −b+ D −b− D x= 2a または x= 2a (3.51) となり, 解は 2 つ出てくる。このとき, もし D >0 なら 式 (3.51) は両方とも実数で OK だが, 問題は D <0 の √ ときである。D <0 なら D は実数でなくなってしま √ うのだ! なぜなら, D は「2 乗したら D になるような 数 (のうちの 0 以上の数)」だが, そもそも実数は 2 乗し てマイナスになるようなことはない。 この窮地を救うアクロバットは, 「2 乗するとマイナ スの実数になるような数を無理やり考える」という作戦 である。まず, 2 乗したら −1 になるような数を考える。 それを 虚数単位 と呼び, i と表記する。つまり, i2 = −1 である。あるいは, i = (3.52) (1) x2 +x+2=0 (2) x2 +3x+1=0 √ −1 である。 虚数単位の実数倍を, 純虚数 と呼ぶ。例えば 2i とか √ 3.9 恒等式 前節で見たように, 多くの方程式は, 変数がある特定 の値(解)のときにだけ成り立つ。ところが, いつでも 無制限に成り立つ方程式もある。そういうのを 恒等式 という。 − 3 i は純虚数だ。純虚数は 2 乗したらマイナスの実 222√2 数になる。例えば(2i) =2 ×i =−4,(− 3i) = √22 (− 3) × i = −3 である。そして, 実数と純虚数の和 で表される数を 虚数 と呼ぶのだ。例えば, 1 + 2i とか √√ 3 − 2i は虚数である。 √ D <0 のとき, D は純虚数になり, そのとき式 (3.51) は, 両方とも虚数になるのだ。 まず復習。i2 = −1 となるような数 i を虚数単位と呼ぶのだった。そして, 虚数単位 i と任 意の 2 つの実数 a, b によって以下のようにあらわされ る数: ●問227 (1) テーラー展開を使って以下の式を証明せよ: 1 = 1+x+x2 +x3 +···+xn +··· 1−x (9.11) を複素数というのだった。 このとき, aを実数部または実部, bを虚数部または 虚部という。例えば2+3iの実数部は2, 虚数部は3で ある。 虚数部は虚数単位を含まないことに注意しよう。例え ば 2 + 3i の虚数部は 3i ではなく 3 である。 虚数は英語で”imaginary number”と言う。直訳は 「空想上の数」である。虚数単位の記号”i”はそこから とられた。「空想上」と言っても, 実際は, 虚数は数学 や物理学の中で非常に重要な, 確固たる存在である。虚 数を考えないと説明できない物理現象もある (量子力 学)。ちなみに実数は英語で”real number”という。直 訳は「ホントの, 現実的な数」である。 複素数は z という記号で表すことが多い。複素数 z の 実数部を Re(z) と書き, z の虚数部を Im(z) と書くこと もある (Re は real, Im は imaginary からとっている)。 例えば, Re(2 + 3i)=2, Im(2 + 3i)=3 である。 実数部と虚数部は, 複素数をつくる, 互いに独立した 要素である。2 つの複素数について, それぞれの実数部 と虚数部が互いに等しいとき, 2 つの複素数は等しいと いう。つまり,複素数z=a+biと複素数w=c+di について (a, b, c, d は実数), a = c かつ b = d のときに 限って, z = w とする (定義)。 複素数 z = a + bi について (a, b は実数), a − bi とい う複素数を, z の 複素共役 または 共役複素数 と呼び, z と表す (定義)。 例9.3 z=1+2iの共役複素数は,z=1−2iである。 (例おわり) (2) x = 2 のとき, 式 (9.11) は成り立たないことを示せ。 (3) 等比数列 {1, x, x2, x3, · · · } の和を求めることで, 式 (9.11) を証明し, これが成り立つ x の条件を述べよ。 前問で見たように, 関数はテーラー展開できたとして も, x の限定的な範囲でしか成り立たないことがある。 ここでは詳しくは述べないが, そのような限定的な範囲 は, 「収束半径」という概念で表現される。式 (9.11) の 収束半径は 1 である (x = 0 を中心に, 距離 1 未満の数 について成立する)。ここでは証明はしないが, 式 (9.7) や式 (9.8), 式 (9.9) の収束半径は ∞ である (どのよう な x の値についても成り立つ)。 テーラー展開された関数は, (収束半径の内側であれ ば) 他の式を代入したり, 微分や積分をしたりしても OK である。 ● 問 228 任意の複素数 z について, 次式を示せ: z = a+bi (9.12) Re(z)= z+z, Im(z)= z−z (9.13) 2 2i 数学は モノグラフ公式集まではいかないので 教科書ガイド でチャート式ではなくて勉強すること ヘーゲルがイデア性、観念性を実在性の真理といったのは、このプラトンのイデア論を踏まえているのです。これは同時に彼の変革の立場を示すものです。ヘーゲルは「出来あがった完成されたものはこの世のなかに存在しないのであって、この世のものは常に不完全な変革の対象としてしか存在しない」とみるのです。イデア性すなわち観念性とは何かというと「変革さるべき姿」です。それは理想の姿であり理念の姿ということになるのです。「変革さるべき姿」ということを彼は観念性という言葉で呼んでいるのです。イデア性とは真にあるべき姿といってもいいでしょう。 「実在性の真理は観念性である」と彼はいっています。だから客観世界に存在するものは、本当のあるべき姿として存在していない、それは変革さるべき対象にすぎない、有限な姿にしかすぎないのであって、イデア性が実現されることが実在性の真理だ、ヘーゲルはこういっているのです。現にあるものが真にあるべき姿に変革されることによって、真理が実現されると考えるのです。だからこの観念性を、唯物論との対比における観念論、観念論的という意味にとったのでは、正しく理解することができないのです。ヘーゲルのいう観念性は、理想の追求、理想の探求です。理想をかかげるということは、人間の実践にとって一番大事なことです。われわれは日々いろいろな実践をします。例えば、生産労働自体が、ある意味では理想をかかげての実践だといえます。自動車をつくる労働は、自動車という一つのイデアをかかげて、それを実現しようと努力する。社会変革の面においても、理想を追求して真にあるべき社会に変えていこうと実践する。こういう意味での観念性というのは、われわれ唯物論の立場からいっても否定されるべきではないのです。 略 http://takamuratetugaku.org/015/015_08_text.html

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目に見える数を数えるのが算数。 目に見えない虚数はいわば数学の入口。 普段の生活のためだけなら必要ないですが、数学という学問をするには必要不可欠な基礎の基礎。 逆にここで躓くなら、数学は受験のためだけと割り切っていいと思います。

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虚数も大切な数です。 数直線を思い浮かべてください。数直線(実数のみ)は右と左(x軸)しか表せません(要は線だけ)。しかし虚数を使うと0を中心に今度は上と下(y軸)を表すことができます。つまり実数と虚数の数直線を組合わせることで線だけでしか表せなかった数直線が平面に座標表すことができます。これを複素数平面と言います。例として2+3iは横に2縦に3移動したところが2+3iです。 また電気の分野では結構使います。インピーダンスzというものがあって例えば抵抗が8Ω コイルが6Ωが直列に繋がった交流電源の回路があったとします。ふつうに求める際はz=√(8の2乗+6の2乗)と計算する必要がありますが虚数を使うと「8+j6Ω」のようにだいぶスッキリとした表記にする事ができます。 あと角度云々でも虚数を使うことがありますがここは割愛します。 また蛇足ですが電気の分野では6iをj6のように書きますがこれは電流の量記号Iとゴッチャにならないようにそう書きます。 長文失礼しました。

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制御工学や電子回路で虚数iをたーくさん使うんですよ。虚数が分からないとオイラーの公式が理解できず、そこからフーリエ変換がわからない…と破滅の道を辿ってしまいますよ。 虚数というのは簡単に言うと、右に〜歩進む という表記で下に5歩進みたい時に虚数を使うことで、右にー5i歩進む と表記できるんですよ。 右にしか進めないのに上下左右に移動することができる虚数iはとても素晴らしいのです。