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数学の問題です。解答お願いいたします。 線形変換φについて、もしφが正則で...

tak7skさん

2016/6/1211:45:34

数学の問題です。解答お願いいたします。


線形変換φについて、もしφが正則でない(逆写像をもたない)なら、十分に小さなε≠0に対してφ+εIは正則であることを示せ。

ただし、Iは恒等写像と

する。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/6/1212:05:20

φを表すn×n正方行列をAとし
f(x)=|A+xI|とすると
f(x)はxの最大次数n次でその係数が1の多項式、f(0)=0

f(x)≡0でない。
もしf(x)=0なる実数解がx=0以外になければε≠0についてf(ε)=|A+εI|≠0は明らか。
f(x)=0なる実数解がx=0以外にあれば(高々n-1個)その絶対値の最小値をα(>0)とおきーα<ε<α、ε≠0なるようにεをとればf(ε)≠0となる。

よって十分小さなε≠0に対してφ+εIは正則である

質問した人からのコメント

2016/6/12 12:23:20

ありがとうございます!

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