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以下の不等式が示せません 回答お願いします! 任意の実数xについて X^4-x^3+...

maz********さん

2016/8/2302:20:22

以下の不等式が示せません
回答お願いします!

任意の実数xについて
X^4-x^3+x^2-x+21/64>0
が成立することを示せ

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ベストアンサーに選ばれた回答

mat********さん

2016/8/2409:53:33

下向きに凸の曲線において接線を引くと、曲線がその接線より上に
あるという性質を使います。
実際、
f(x)=x^4-x^3+x^2-x+21/64
として、
f"(x)=12x^2-6x+2>0
より、この場合は下向きに凸の曲線です。

x=1/2における接線は、
y=f'(1/2)(x-1/2)+f(1/2)=-x/4+17/64
より、
x<16/17
においてf(x)>0となる。

x=1における接線は
y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+21/64
=2x-107/64
より
x>107/128においてf(x)>0となる。

したがって、全域においてf(x)>0

質問した人からのコメント

2016/8/24 13:17:26

回答ありがとうございます

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cd_********さん

2016/8/2314:26:13

f(x)=左辺とすると
f'(x)=4x^3-3x^2+2x-1
f"(x)=12x^2-6x+2>0より
f'(x)=0はただ1つの実数解x=tをもち、f(t)≧0を示せば良い
f(t)=(1/16)(4t-1)f'(t)+(20t^2-40t+17)/64
=(20t^2-40t+17)/64
f'(0.606)=0.000472064>0よりt≦0.606
t≦0.606において20t^2-40t+17≧0

fun********さん

編集あり2016/8/2303:14:09

x^2(x-1/2)^2+3/4(x^2-4/3x)+21
x^2(x-1/2)^2+3/4(x-2/3)^2-1\3+21
x^2(x-1/2)^2+3/4(x-2/3)^2+62/3
よって必ず正の数となるので与式は成立する
でしょうか。分かりにくかったら言ってください

一番上の式の展開ですこれが成立することはわかりますよね
x^2(x^2-x+1/4)+3/4(x^2-4/3x)+21

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