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すべての実数xを定義域とする3次関数f(x)=3x^3-3x^2-9xを考える。

lil********さん

2016/11/615:06:03

すべての実数xを定義域とする3次関数f(x)=3x^3-3x^2-9xを考える。

(1)f(x)の極大値は【ア】であり極小値は【イ】である。

(2)f(x)=0を満たすどの実数xよりも大きい整数のうちで最小のものは【ウ】である。

(3)r=5/3とおく。3^rよりも小さい整数のうちで最大のものは【エ】である。

(4)実数tが|t-1|≦2/3を満たす範囲を動くとき、3^3t -3^2t+1 -3^t+2はt=【オ】で最小値をとり、t=【カ】で最大値をとる。

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pcg********さん

2016/11/812:13:25

f(x)=3x^3-3x^2-9x
f'(x)=3(3x^2-2x-3)
(1)f'(x)=0より
x=(1±√10)/3
x=(1-√10)/3のとき極大値(-29+20√10)/9
x=(1+√10)/3のとき極小値(-29-20√10)/9
(2)f(2)=-6<0
f(3)=27>0
よって
f(x)=0を満たすどの実数xよりも大きい整数のうちで最小のものは3である。
(3)6<3^(5/3)
7>3^(5/3)
よって
3^rよりも小さい整数のうちで最大のものは6である。
(4)3^3t -3^2t+1 -3^t+2ではなく
3・3^3t -3^2t+1 -3^t+2として回答。
なぜなら、3^t=xとおくと(1)のf(x)がそのまま使える。
つまり
3・3^3t -3^2t+1 -3^t+2=3x^3-3x^2-9x=f(x)
実数tが|t-1|≦2/3を満たすとき1/3≦t≦5/3
このときf(x)は単調増加だから
t=1/3で最小値をとり、t=5/3で最大値をとる。

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