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大学基礎力学の剛体の問題です。 長さ2l、質量Mの密度一様な極めて細い棒があり...

rix********さん

2016/12/716:00:04

大学基礎力学の剛体の問題です。

長さ2l、質量Mの密度一様な極めて細い棒があり、この棒の一端を滑らかな壁に当てて、摩擦の無い水平な釘に掛ける。壁と釘の間の距離はa(一定)とする。角θを

変えた時の安定性について考える。(棒が受ける垂直抗力R1,R2は棒の変位に対し常に垂直であるため仕事しないため棒には重力のみが仕事することに留意。)

(1)釘の位置(高さ)を原点としたときの重力の位置エネルギーUの角度依存性を求めよ

(2)平衡位置のときの角度θcを求めよ

(3)d^2/dθ^2を計算し、平衡位置における安定性を議論せよ

記号を用いる際は明記せよ。

よろしくお願いします…。

垂直抗力R1 R2,平衡位置,安定性,重力,釘,rixtnation,Lcos

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mus********さん

2016/12/900:28:49

rixtnationさん

(1) y = Lsinθ - atanθより,

U = Mgy = Mg(Lsinθ - atanθ) ・・・・・[答]


(2) 平衡位置は,U=0 ⇔ y=0のとき。

Lsinθ - atanθ = 0

⇔ L- (a/cosθ) = 0

⇔ cosθ = a/L

∴ θc = arccos(a/L) ・・・・・[答]


(3) 重心位置がyにある時の,棒の慣性モーメントJは,

J = (ML^2/3)+M・(y/sinθ)^2

= (ML^2/3)+M・{L-(a/cosθ)}^2

この時,重力によって発生するモーメントTは,角度θを反時計回り:正として,

T = -Mg・(y/tanθ) = -Mg(Lcosθ-a)

したがって,運動方程式は,

Jθ" = -T

⇔ [(ML^2/3)+M・{L-(a/cosθ)}^2]・θ"+Mg(Lcosθ-a) = 0

θ=θcの時,Lcosθc-a = L-(a/cosθc) = 0 より,

(ML^2/3)θ" = 0

∴ θ" = d^2/dθ^2 = 0

上記より,θ'=0でもあることから,平衡位置θcでは静止している。

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