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高校数IIです。 放物線Y=9-Xの2乗とX軸の交点をA,Bとし,線分ABと放物...

ponkanbitaminさん

2017/1/920:55:46

高校数IIです。

放物線Y=9-Xの2乗とX軸の交点をA,Bとし,線分ABと放物線で囲まれた部分に台形ABCDが内接するとき,この台形の面積の最大値をもとめよ。

教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sp32115342さん

2017/1/921:21:58

y=-x^2+9とx軸との交点が点A,Bなので
A=(-3,0) , B=(3,0)
台形は線分ABと放物線で囲まれているため、台形を構成する残りの点C,Dは
第一象限と第二象限にあることがわかる。
x=a(-3<a<3)のときに台形の面積が最大になるとすると点C,Dは
C=(a,-a^2+9) , D=(-a,-a^2+9)
とあらわせる。
台形の面積を求める公式にしたがうと
面積=(2a+6)×(-a^2+9)×1/2
=-a^3-3a^2+9a+27
f(a)=-a^3-3a^2+9a+27とすると
f(a)'=-3a^2-6a+9
=-3(a+3)(a-1)
f(a)はa=-3のときに極小値、a=1のときに極大値をとることがわかる。
-3<a<3より今回の問題では極大値の値がそのまま最大値となる。
よって最大値は
f(a)=-a^3-3a^2+9a+27
f(1)=-(1)^3-3(1)^2+9×1+27
=32

質問した人からのコメント

2017/1/9 23:06:44

まことにありがとうございます
助かりました。

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