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y=√xをx軸を中心に回転させた図形の方程式がx=y^2+z^2というのはなんとなくはわか...

lsvvftwlwoehkfさん

2017/2/1022:42:51

y=√xをx軸を中心に回転させた図形の方程式がx=y^2+z^2というのはなんとなくはわかるのですが、理論的に説明できません。どなたか説明よろしくお願いします。

補足すみません。追加で質問なのですが、この図形上の点から(1/2,√3,1)に至る距離の最小値の求め方も教えてください。

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2017/2/1514:30:42

この回転体の場合、曲面はx軸に垂直な平面で切った時、

その平面の切り口の曲線の集まりと考えれば良い。

x軸を中心にy=f(x)を回転させた時、x軸の目盛りをtと

すると、平面t=xで切った時の曲線は、

半径=√(y^2+z^2)=|f(x)|の円を描く。

求める平面は、この円の集まりだから、

求める曲面の式は、

√(y^2+z^2)=|f(x)|

となる。

両辺を2乗して、

y^2+z^2=f(x)^2

とも表わされる。

y=f(x)=√x の場合は、

y^2+z^2=(√x)^2=x

次に、

点(1/2,√3,1)を点Pとする。上の曲面は、x軸を含むどんな

平面で切っても、その平面上に原点を通るx軸,y軸をとれば、

切り口はいつも y^2=x の放物線となる。

今、

(x,y,z)座標をx軸を中心にθ回転させた時の新しい座標を

(u,v,w)とすれば、2つの座標の変換式は、

u=x, v=ycosθ+zsinθ, w=-ysinθ+zcosθ......①

ここで、

θの回転により、点P(x,y,z)=(1/2,√3,1)

を新しい座標で点P(u,v,w)を表わした時、w=0となるように

回転角度θを決める。

①より、

0=-√3sinθ+1cosθ

三角関数の合成より、

=2(1/2cosθ-√3/2sinθ)

=2sin(π/6-θ)

よって、

θ=π/6

この時、点Pの座標は、

u=x=1/2,

v=ycosθ+zsinθ=√3*cos(π/6)+1*sin(π/6)=3/2+1/2=2

w=0

よって、

点Pの座標=(u,v,w)=(1/2,2,0)

この平面の曲面の切り口は、v^2=u......②

②上の点をQ(u,v,0)とすると、

PQの最小値は、PQ^2の最小値と同値だから、

PQ^2=(1/2-u)^2+(2-v)^2

ここで、u=v^2を代入して、

=v^4-4v+17/4

ここで、

f(v)=v^4-4v+17/4と置いて、vに関して微分すると、

f(v)=4(v^3-1)=4(v-1)(v^2+v+1)

よって、

v=1の時、すなわち点Q=(u,v,w)=(1,1,0)の時、

PQ^2の最小値=f(1)=5/4をとる。

よって、点Q=(u,v,w)=(1,1,0)の時、

求める最小値=PQ=√5/2

(参考)

点Qのもとの座標(x,y,z)で表わせば、

x=u, y=vcosθ-wsinθ, z=vsinθ+wcosθより、

x=u=1/2

y=1cos(π/6)-0*sin(π/6)=√3/2

z=1*sin(π/6)+0*cos(π/6)=1/2

点Qの座標=(x,y,z)=(1/2,√3/2,1/2)

質問した人からのコメント

2017/2/15 18:24:24

ありがとうございます!わかり易かったです

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