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3次行列 1 2 2 1 0 -2 0 1 2 について、各固有値に対する固有空間とその次元を...

dai********さん

2017/2/2319:43:33

3次行列
1 2 2
1 0 -2
0 1 2
について、各固有値に対する固有空間とその次元を求めよ、という問題で、固有値をだすところまでまできたんですが、固有空間とその次元を求める部分がうまくい

かないので解答解説お願いします。

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fra********さん

2017/2/2805:29:52

固有多項式 φ_A(t) = det(tE-A) = t(t-1)(t-2) ですから、固有値は 0,1,2 の3個です。

(1) 固有値 0 の固有空間 V(0) の基底:
V(0) = { x=(x_1,x_2,x_3)' | (0・E-A)x = 0 } ですが、0・E-A = -A =

-1,-1,-2
-1,0 ,2 ・・・・・(*)
0,-1,-2

です。ただし (x_1,x_2,x_3)' は転置ベクトルです。係数行列(*)を、行の基本変形(掃出し法)により、階段行列(簡約形)に変換すると

①,0,-2
0,①,2 ・・・・・(**)
0,0,0

です。階段行列(**)で主成分の①が無いのは3列ですから、3番目の未知数 x_3 を任意定数 x_3 = c と置けば

x_1 = 2c,x_2 = -2c

となります。従って(*)の一般解は

x = c・(2,-2,1)' , c は任意定数

となります。従って

V(0) = < (2,-2,1)' > : 1次元


(2) 固有値 1 の固有空間 V(1) の基底:
V(1) = { x=(x_1,x_2,x_3)' | (1・E-A)x = 0 } ですが、1・E-A =

0,-2,-2
-1,1,2 ・・・・・(***)
0,-1,-1

です。係数行列(***)を、行の基本変形(掃出し法)により、階段行列(簡約形)に変換すると

①,0,-1
0,①,1 ・・・・・(****)
0,0,0

です。階段行列(****)で主成分の①が無いのは3列ですから、3番目の未知数 x_3 を任意定数 x_3 = c と置けば

x_1 = c,x_2 = -c

となります。従って(***)の一般解は

x = c・(1,-1,1)' , c は任意定数

となります。従って

V(1) = < (1,-1,1)' > : 1次元


(2) 固有値 2 の固有空間 V(2) の基底:
V(2) = { x=(x_1,x_2,x_3)' | (2・E-A)x = 0 } ですが、2・E-A =

1,-2,-2
-1,2,2 ・・・・・(*****)
0,-1,0

です。係数行列(*****)を、行の基本変形(掃出し法)により、階段行列(簡約形)に変換すると

①,0,-2
0,①,0 ・・・・・(******)
0,0,0

です。階段行列(******)で主成分の①が無いのは3列ですから、3番目の未知数 x_3 を任意定数 x_3 = c と置けば

x_1 = 2c,x_2 = 0

となります。従って(*****)の一般解は

x = c・(2,0,1)' , c は任意定数

となります。従って

V(2) = < (2,0,1)' > : 1次元

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