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この3次正方行列の固有値と固有ベクトルがわかりません。 -1 0 2 2 3 3 3 0...

lan********さん

2017/3/1314:20:26

この3次正方行列の固有値と固有ベクトルがわかりません。
-1 0 2
2 3 3
3 0 -1
どなたか求め方と解答を教えていただけないでしょうか。

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candy712さん

2017/3/1319:24:10

A=
-1 0 2
2 3 3
3 0 -1
|A-λI|=0
|-1-λ…0…2|=0
|2…3-λ…3|
|3…0…-1-λ|
λ=-1-√6、3、√6-1
λ=-1-√6の場合
√6x1+0x2+2x3=0
2x1+(4+√6)x2+3x3=0
3x1+0x2+√6x3=0
x3=1とすると
√6x1+2=0
x1=-2/√6=-√(2/3)
2(-√(2/3))+(4+√6)x2+3=0
x2=(17√6-48)/30
v1=
(-√(2/3))
((-48+17√6)/30)
(1)
λ=3の場合
-4x1+0x2+2x3=0
2x1+0x2+3x3=0
3x1+0x2-4x3=0
x3=0とすると
x1=0
-4(0)+0x2+2(0)=0より
x2=1であってもよい。
v2=
(0)
(1)
(0)
λ=√6-1の場合
-√6x1+0x2+2x3=0
2x1+(4-√6)x2+3x3=0
3x1+0x2-√6x3=0
x3=1とすると
-√6x1=-2
x1=2/√6=√(2/3)
2√(2/3)+(4-√6)x2+3=0
x2=-(48+17√6)/30
v3=
(√(2/3))
((-48-17√6)/30)
(1)

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lancer_kirisaki1022さん

{{-1,0,2},{2,3,3},{3,0,-1}}

-1 0 2
2 3 3
3 0 -1

ウルフラム計算サイトで簡単かつ秒速で確認できます。

http://m.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-1%2C0%2C2%7D%2C%7B2%2C3%2...

固有ベクトルを X= ᵗ (x,y,z) とすると定義より

AX=λX=O ⇔ (A-λE)X=O(ただし X≠O)

A-λE に逆行列が存在すると仮定すれば、上式に左から(A-λE)⁻¹ を掛けると

(A-λE)⁻¹(A-λE)X=O ⇔ EX=O ⇔ X=O となり、矛盾する。

よって

「(A-λE)⁻¹ は存在しない」

⇔ |A-λE|=-(λ³-λ²-11λ+15)=-(λ-3)(λ²+2λ+5)=0

⇔ λ=3, -1±√6 (固有値)


ア)λ=3のとき A-λE=

-4 0 2
2 0 3
3 0 -4

これを変形していく

1行÷(-2)

2 0 -1
2 0 3
3 0 -4

(2行-1行)÷4

2 0 -1
0 0 1
3 0 -4

1行+2行、3行+2行×4

2 0 0
0 0 1
3 0 0

1 0 0
0 0 1
0 0 0

∴x=z=0, yは任意の実数

よって λ=3に対応する固有ベクトルの一つは

v=t(0,1,0) (t:転置行列)



λ=-1±√6 のときも同様にして、固有ベクトルの一つは

v=t(-10√6 , -48+17√6 , 30)

w=t(10√6 , -48-17√6 , 30)

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