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半径r、全質量mで密度が一様な円板が水平な床面上を転がる場合を考える。床面と円...

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ID非公開さん

2017/3/2019:47:46

半径r、全質量mで密度が一様な円板が水平な床面上を転がる場合を考える。床面と円板の間にはすべりはなく、円板は角速度ωで回転しながら床面上をまっすぐ移動しているものとする。床面との接触点におけるエネルギー

損失や転がり抵抗、空気対抗は無視できないものとする。このとき以下の問いに答えよ。必要な場合には、重力加速度はgを用いること。

(1)円板の最下点A(床面との接触点)、中心B、および最上点C、の3点の床面に対する水平方向の速度をそれぞれω、rを用いて表せ。

(2)円板の中心Bの床面に対する速度をvとするとき、円板の運動エネルギーをm,v,rを用いて表せ。ただし円板の転がる回転軸(円板の中心)まわりの慣性モーメントは1/2mr^2であるとする。

(3)つぎに、同じ床面上で同じ円板を用いて、図2に示すように床面に静止している状態の円板に対して、その中心Bに床面に水平の力Fを作用させることで円板を加速する場合を考える。ただし加速時にも円板と床面のすべりは生じないものとする。このとき、作用させる水平の力Fと円板の中心Bの加速度dv/dtの関係を求めよ。

(4)また、円板と床の静止摩擦係数をμとするとき、円板がすべらずに床面を転がるための水平の力Fに対する条件を求めよ。

(5)床面上に静止している円板に対し、小問(3)と(4)の条件を満たす一定の水平の力Fを時間tのあいだ作用させ、その後転がり運動をさせる。図2のように床面に連続して坂があるとき、円板の中心Bが上がる最大高さ(床面にある状態からの上昇高さ)を求めよ。ただし、円板に水平の力Fを作用させるのは円板が床面上にあるときのみとし、円板を床面および坂とのすべりは生じないものとする。

この問題をお願いします。

円板,床面,接触点,床面上,慣性モーメント,E1+E2,運動エネルギー

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カテゴリマスター

bor********さん

2017/3/2022:03:37

(1)
A点の床に対する速度:0
B点の床に対する速度:rω
C点の床に対する速度:2rω

(2)
直線運動の運動エネルギー:E1=(1/2)mv²
回転運動の運動エネルギー:E2=(1/2)Iω²=(1/2)(1/2)mr²ω²
v=rωだから
E2=(1/4)mv²
E1+E2=(3/4)mv²

(3)
摩擦力:R
直線運動加速度:α---dv/dtのことをαと書く
回転運動角加速度:α/r
直線運動の運動の式
F-R=mα---①
回転運動の運動の式
Rr=I(α/r)
R=(1/2)mα---②
①+②
F=(3/2)mα
α=2F/3m

(4)
α=2F/3mを②に代入
R=(1/2)mα=(1/2)m(2F/3m)=F/3
滑らない条件
R≦μmgだから
F/3≦μmg
F≦3μmg

(5)
v=αt=2Ft/3m
運動エネルギーは(2)より
E1+E2=(3/4)mv²=(3/4)m(2Ft/3m)²=(3/4)m(4F²t²/9m²)
=F²t²/3m
最大高さ:hでの位置エネルギー:mgh
エネルギー保存則より
mgh=F²t²/3m
h=F²t²/3m²g

検算よろしく。

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質問した人からのコメント

2017/3/27 18:14:24

ありがとうございました!

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