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質問です.複素解析に関する授業で,平面の2点 (x1,y1),(x2,y2) に対しての四則演...

rhc********さん

2017/4/1217:16:57

質問です.複素解析に関する授業で,平面の2点 (x1,y1),(x2,y2) に対しての四則演算が
(和) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)

(差) (x1, y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)
(積) (x1, y1)×(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+y1x2)
(商) (x1, y1)÷(x2, y2)=({(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)}, {(-x1y2+y1x2)/(x2^2+y2^2)})
但し,(商)に関しては (x2, y2)≠(0, 0) ⇔ x2^2+y2^2≠0 ⇔ x2^2≠0またはy2^2≠0

で定義できる,と習ったのですが,(積)と(商)に関してなぜ右辺のようになるのかがわかりません.
どなたかお答えいただける方,いらっしゃいましたらよろしくお願い致します.

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ベストアンサーに選ばれた回答

sma********さん

2017/4/1217:37:00

> (積)と(商)に関してなぜ右辺のようになるのかがわかりません.

積と商を右辺のように "定義した" わけですから, なる・ならないの問題ではありません.

ご質問が
「なぜ右辺のように "定義する" のかがわかりません」
という意味であれば, 答えは
「そうすると, 自然に R^2 と C が同型になる (同じものと思うことができる)」
からです.


あるいは, ご質問が
「上記のように定義したとして, なぜ "積や商になる" のかがわかりません」
という意味であれば, それはまず手を動かして証明してみましょう. 例えば, "積" というからには, 結合法則や単位元の存在などなど満たしてほしい性質がありますので, 実際にそれらを確かめてみるといいと思います. また, "商" というからには, 積の逆演算になっててほしいですので, それも確かめてみるといいですね.


※ 何か不明な点があれば補足します.

質問した人からのコメント

2017/4/12 17:44:20

ご丁寧にお答えくださり、ありがとうございますm(_ _)m
日本語が間違っていました、「なぜ右辺のように定義するのかがわかりません」と言いたかったです(^^;
実際に手を動かしてみようと思います。

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