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至急!! 大問5がわかりません。 微分の問題、ライプニツの公式の応用とtangentの...

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ID非公開さん

2017/6/1414:00:05

至急!!
大問5がわかりません。
微分の問題、ライプニツの公式の応用とtangentの逆関数の問題です。
Tan^-1xはarctanxのことです。
お願いします

ライプニツ,arctanx,tangent,大問,微分,n-1,2x y'

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rp0********さん

2017/6/1712:43:32

y'(x) = (Tan⁻¹(x))' = 1 / (x² + 1)
y''(x) = (Tan⁻¹(x))'' = -2x / (x² + 1)²
よって
(1+x²)y''(x) + 2x y'(x) = 0

(x²+1)y⁽ⁿ⁺¹⁾(x) + 2nxy⁽ⁿ⁾(x) + n(n-1)y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)
係数をコンビネーションで書くと
nC0 (x²+1)y⁽ⁿ⁺¹⁾(x) + nC1 (2x)y⁽ⁿ⁾(x) + nC2 2y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)
ライプニッツの公式より、(x²+1)y(x)のn+1階微分の式とみることができる
f(x) = (x²+1)y(x)を二階微分すると
f''(x) = (1+x²)y''(x) + 2x y'(x)=0 (∵最初で示した等式)
よって3回目以降の微分もすべて0になる
以上から
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0 (n≦1)が成り立つ
よって
(x²+1)y⁽ⁿ⁺¹⁾(x) + 2nxy⁽ⁿ⁾(x) + n(n-1)y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = 0


x=0のとき上記等式は
y⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + n(n-1)y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = 0

偶数階微分を考えると
y⁽²ⁿ⁾(0) + (2n-1)(2n-2)y⁽²ⁿ⁻²⁾(0) = 0
y⁽²ⁿ⁾(0) = - (2n-1)(2n-2)y⁽²ⁿ⁻²⁾(0)より
y⁽²ⁿ⁾(0) = - (2n-1)(2n-2)y⁽²ⁿ⁻²⁾(0) = (2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)y⁽²ⁿ⁻⁴⁾(0)
= (-1)ⁿ(2n-1)! y⁽⁰⁾(0) = 0 (∵y(0) = 0)

奇数階微分を考えると
y⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) + 2n(2n-1)y⁽²ⁿ⁻¹⁾(0) = 0
y⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = - 2n(2n-1) y⁽²ⁿ⁻¹⁾(0)より
y⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = - 2n(2n-1) y⁽²ⁿ⁻¹⁾(0) = 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)y⁽²ⁿ⁻³⁾(0)
= (-1)ⁿ(2n)! y⁽¹⁾(0) = (-1)ⁿ(2n)! (∵y'(0) = 1)

以上から
y⁽²ⁿ⁾(0) = 0
y⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = (-1)ⁿ(2n)!

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