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1、∫[e^xln(e^x+1)/e^x+1]dx 2、∫[x/x^2+2x+2]dx 3、∫secxdx (u=sinxを置換する)...

eggrapesさん

2017/6/2111:38:35

1、∫[e^xln(e^x+1)/e^x+1]dx
2、∫[x/x^2+2x+2]dx
3、∫secxdx (u=sinxを置換する)
これら3つの問題があるのですが、解き方がわかりません。どなたか教えていただけませんか?

※1はe^x+1を

置換して解くのだと思うのですがうまくできません。2は分母が因数分解できないし…3番はなんとなくはわかるような気がするのですが…

よろしくお願い致します

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ベストアンサーに選ばれた回答

pcgv87さん

2017/6/2113:17:29

1、∫[e^xln(e^x+1)/(e^x+1)]dx
=∫[ln(e^x+1)(ln(e^x+1)']dx
=(1/2){ln(e^x+1)}^2+C
2、∫[x/x^2+2x+2]dx
=(1/2)∫{(x^2+2x+2)'/(x^2+2x+2)}dx
-∫{1/(x^2+2x+2)}dx
=(1/2)ln(x^2+2x+2)-arctan(x+1)+C
3、∫secxdx (u=sinxを置換する)
=∫(1/cosx)dx
=∫{cosx/(1-sin^2x)}dx
=∫du/(1-u^2)
=(1/2)∫{1/(u+1)-1/(u-1)}du
=(1/2)ln(|(u+1)/(u-1)|
=(1/2)log|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
☆3.の解答は1通りではありません。

質問した人からのコメント

2017/6/21 22:23:40

ご丁寧にありがとうございます!とても役にたちました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ysd_yhさん

2017/6/2112:59:29

1、∫[e^x ln(e^x+1)/(e^x+1)]dx
=∫ln(e^x+1){ln(e^x+1)}' dx=(1/2){ln(e^x+1)}^2 +C
2、∫[x/(x^2+2x+2)]dx
=∫[(x+1-1)/{(x+1)^2+1}]dx
=(1/2)ln{(x+1)^2+1} - tan^-1(x+1) + C
3、∫secxdx (u=sinxを置換する)
=∫cos x/(1-sin^x) dx=(1/2)∫{1/(1-sin x)+1/(1+sin x)}cos x dx
=(1/2)ln |(1+sin x)/(1-sin x)| +C
※結果を微分すれば考え方が判りますよ。

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