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1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+1/(5^2)+・・・+1/(n^2)+・・・=Aとして、次の(1)、(2)をAを...

chielien_c24c7fe65199f6ce5bcfdccさん

2017/7/112:32:36

1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+1/(5^2)+・・・+1/(n^2)+・・・=Aとして、次の(1)、(2)をAを用いて表せ。

(1)1/{(1^2)×2}+1/{(2^2)×3}+1/{(3^2)×4}+・・・+1/{(n^2)(n+1)}+・・・

(2)1-1/(1^2)+1/(2^2)-1/(3^2)+1/(4^2)-1/(5^2)+・・・+{(-1)^2}/(n^2)+・・・



という問題がわからないので、誰か教えて下さい!

補足フーリエ級数展開とかは触れたことがないので、もう少し簡単にできる方法を知りたいです。とりあえず、いろいろな方法を募集します!

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tasogarejiさん

2017/7/119:14:50

(1)
An=Σ[k=1,n]1/k² とする。

まず、次の級数を求める。
Xn=Σ[k=1,n]1/k(k+1)=Σ[k=1,n] {1/k-1/(k+1)}
=1-1/(n+1)

なので、 Xn→1 (n→∞)


Bn=Σ[k=1,n] 1/{k²(k+1)} とする。
(1/k){1/k-1/(k+1)}=1/k²-1/{k(k+1)} なので

Bn=(Σ[k=1,n]1/k²)-{Σ[k=1,n]1/k(k+1)}
=An-Xn → A-1

(2)
まず次の級数を求める
A=Σ[k=1,∞]1/k²
=Σ[k=1,∞]1/(2k)²+Σ[k=0,∞]1/(2k+1)²

=(1/4)Σ[k=1,∞]1/k²+Σ[k=0,∞]1/(2k+1)²
=A/4+Σ[k=0,∞]1/(2k+1)²

ゆえに
Σ[k=0,∞]1/(2k+1)²=3A/4・・・・①

求める級数の値をCとすると
C=1+Σ[k=1,∞] (-1)^k/k²
=1-Σ[k=0,∞] 1/(2k+1)² + Σ[k=1,∞] 1/(2k)²

=1-Σ[k=0,∞] 1/(2k+1)² +(1/4) Σ[k=1,∞] 1/k²
=1-3A/4 +A/4=1-A/2

途中で①を使った。

  • 2017/07/0301:32:14

    回答ありがとうございます!
    とてもわかりやすいです!!
    質問の(2)の最後間違ってました。
    +{(-1)^n}/n^2
    でした、、

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schnittkejpさん

編集あり2017/7/113:48:31

(1)は検討中
(2)はこんなやり方があります。
周期2πの周期関数f(x)を
f(x)=x²/2   (−π<x≦π)
と定義して、これをフーリエ級数展開する。


f(x)は偶関数だから、フーリエ・コサイン級数の公式
f(x)=a[0]/2+Σ[k=1→∞]a[k]cos(kx)……………①
a[k]=(2/π)∫[0→π]f(x)cos(kx)dx…………②
を使う。

最初にa[0]を求める。k=0とおいて、
a[0]=(2/π)∫[0→π]f(x)dx
=(2/π)∫[0→π]x²/2  dx
=(1/π)∫[0→π]x²  dx
=π²/3…③

次にa[k]について、

a[k]=(1/π)∫[0→π](x²)cos(kx)dx
=(1/π)∫[0→π](x²){(1/k)sin(kx)}’dx
=(1/π)[(x²){(1/k)sin(kx)]|0→π|-(2/π)∫[0→π](1/k)xsin(kx)dx
=-(2/kπ)∫[0→π]xsin(kx)dx
=-(2/k²π)∫[0→π]x(-coskx)’dx
=-(2/k²π)[x(-coskx)]|0→π|+(2/k²π)∫[0→π]cos(kx)dx
=2/(k²π)・π(-1)^k+(2/k²π)(1/k)sin(kx)|0→π
=(2/k²)・(-1)^k…④

③と④を①に代入

x²/2=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k・cos(kx)・・・・・・⑤

⑤にx=πを代入

π²/2=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k・cos(kπ)
=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k・(-1)^k
=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)

よって、
π²/2=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)
2π²/6=2Σ[k=1→∞](1/k²)

よって、
Σ[k=1→∞](1/k²)=π²/6

⑤にx=0を代入すると、

0=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k

-π²/12=Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k=-1/1²+1/2²-1/3²+1/4²-・・・
だから、

1/1²-1/2²+1/3²-1/4²+1/5²-1/6²・・・=π²/12

になる。

⑤にx=π/2を代入すると、
π²/8=π²/6+2Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k・cos(kπ/2)
-π²/48=Σ[k=1→∞](1/k²)・(-1)^k・cos(kπ/2)

=-1/2²+1/4²-1/6²+1/8²-1/10²+……

よって、
1/2²-1/4²+1/6²-1/8²+1/10²-1/12²+……=π²/48
になる。

また、

1/1²-1/2²+1/3²-1/4²+1/5²-1/6²・・・=π²/12
1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²・・・=π²/6

だったから、この式を足すと

2(1/1²+1/3²+1/5²+1/7²・・・)=π²/4

よって
1/1²+1/3²+1/5²+1/7²・・・=π²/8
1/2²+1/4²+1/6²+1/8²・・・=π²/24
が得られる

返信を取り消しますが
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