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1辺の長さが2aである正四面体ABCDの辺BCの中点をMとする

knt********さん

2017/7/115:59:18

1辺の長さが2aである正四面体ABCDの辺BCの中点をMとする

(1)∠AMDの余弦の値
(2)△AMDの面積
(3)正四面体ABCDの体積
を教えて下さい。

正四面体ABCD,余弦,中点,AMD,体積,正三角形,AM DM

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mis********さん

2017/7/116:23:07

(1)AM,DMは正三角形の中線だから
AM=DM=2ax(√3/2)=√3a
よって△AMDにおいて余弦定理より
cos∠AMD=(3a^2+3a^2-4a^2)/(2x√3ax√3a)
=2a^2/6a^2
=1/3

(2)0°<∠AMD<180°よりsin∠AMD>0
よって
sin∠AMD=√(1-cos^2∠AMD)=√(1-1/9)=2√2/3
となるから面積公式より
△AMD=(1/2)x√3ax√3ax(2√2/3)=√2a^2

(3)頂点Aから垂線AHをおろすと、Hは△BCDの重心となる
MH:HD=1:2より
MH=(√3a)/3
△AMHにおいて三平方の定理より
AH^2+MH^2=AM^2
AH^2=3a^2-(3a^2/9)=8a^2/9
AH=2√2a/3
また
△BCD=(1/2)x2ax√3a=√3a^2
よって正四面体の体積は
(1/3)x√3a^2x(2√2a/3)=(2√6a^3)/9

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