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整式P(x)をx-1で割ると余りは11、

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ID非公開さん

2017/7/916:07:18

整式P(x)をx-1で割ると余りは11、

整式P(x)をx2乗+x+1で割ると余りはx+1、
整式P(x)をx3乗-1で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解き方を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/7/916:29:15

求める余りを、ax^2+bx+c とする。

P(x)=(x^2+x+1)*A(x)+x+1 ‥‥①
=(x-1)*B(x)+11 ‥‥②
=(x^2+x+1)(x-1)*C(x)+ax^2+bx+c ‥‥③

・x=1とすると、②と③より、11=a+b+c ‥‥④
x^2+x+1=0から、x=ω、ω^2、だから、
ω^3=1、ω^2+ω+1=0、を使うと
・x=ωとすると、①と③より、ω+1=aω^2+bω+c=
a(-ω-1)+bω+c=(b-a)ω+(c-a) ‥‥⑤
よって、係数を比較すると、b-a=1、c-a=-1 ‥‥⑥

以上から、④、⑤、⑥、を連立して解くと、
(a、b、c、d)=(11/3、14/11、8/3)だから、
余りは、(11x^2+14x+8)/3



変な数字になったから、検算してみて。

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