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Q.0≦x≦5π/6のとき、方程式3cos2x+4sinx-k=0が異なる2つの実数解をもつような実数k...

good_day8181さん

2017/7/2723:24:48

Q.0≦x≦5π/6のとき、方程式3cos2x+4sinx-k=0が異なる2つの実数解をもつような実数kの値の範囲を求めよ。

わからないので解き方を教えてください。

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ytec6510さん

2017/7/2820:43:30

Q: 0≦x≦5π/6 から、 0≦sinx≦1 ---①

t = sinx とおく。
.
0≦x<π/6 で 一つの t に一つの x があり、 このとき、0≦t<1/2
π/6≦x<π/2 で 一つの t に二つの x があり、 このとき、1/2≦t<1
x = π/2 で 一つの t に一つの x があり、 このとき t = 1
π/2<x≦5π/6 で 一つの t に二つの x があり、 このとき、1/2≦t<1

3cos2x+4sinx-k=0 ---②

cos2x = 1 -2(sinx)^2 を ②に代入して、
3 -6(sinx)^2 +4sinx -k = 0
-6(sinx)^2 +4sinx +3 = k ---③

t に置き換えると、
-6t^2 +4t +3 = k ---④
-6(t-1/3)^2 +11/3 = k

y = -6(t-1/3)^2 +11/3 ---⑤
とおくと、放物線の頂点は (1/3、11/3)、 y切片は、y = 3、
t = 0、2/3 のとき、 y = 3、
t = 1/2 のとき、 y = 7/2
t = 1 のとき、 y = 1

0≦t<1/3 のとき、 3≦k<11/3 で、 y = k は⑤と2点で交わる。
t = 1/3 のとき、 k = 11/3 で、 y = k は⑤と1点で交わる。
1/3<t≦2/3 のとき、 3≦k<11/3 で、 y = k は⑤と2点で交わる。
2/3<t≦1 のとき、 1≦k<3 で、 y = k は⑤と1点で交わる。

t = 0、1/3、1/2、2/3、1 の各区間で場合分けすると、
①の関係から、
t:0≦-----<1/2 1/2≦------<1 1
-----xは一つ ---------- xは二つ ---- xは一つ

④の関係から、
t:0≦-----<1/3 1/3 1/3<------≦2/3<-------≦1
--------2点 ---------1点------------2点----------1点

解が二つになるのは、0≦t<1/3、 1/3<t<1/2、 2/3<t<1、 ---⑤

⑤の t に相当する k は、
3≦k<11/3、 7/2<k<11/3、 1<k<3、
だが、3≦k<11/3 は 7/2<k<11/3 と重複しないと 2点で交わらない。
したがって、7/2<k<11/3、 1<k<3 ---答え

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ベストアンサー以外の回答

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2017/7/2811:46:43

0<x<π/6,x=π/2....方程式の解は2個
π/6<x<π/2,π/2<x≦5π/6...方程式の解は1つ

上記の条件を満たすkの範囲を求めてください。

hiruno_teiooさん

2017/7/2800:01:48

sinθ=αとすると、条件から、0≦α≦1/2‥‥①.

この時、方程式は、
k=-6α^2+4α+3=-6(α-1/3)^2+11/3 ‥‥②
これをグラフに書いて、y=kとの交点の数を考える。
ここまでは、普通の2次関数の処理。
しかし、問題は、ここから。

sinθ=αとすると、|α|≦1.
θとαの対応は
・α=1の時、θ=π/2だから、1対1
・α=-1の時、θ=3π/2だから、1対1
・α=0の時、θ=0、πだから、1対2
・-1<α<1の時、1対2

従って、題意を満たすには、①の範囲で交点が1個であれば良い。
これらを承知して、②のグラフとの交点を考えると、3<k<7/2.


質問者:good_day8181さん。2017/7/2723:24:48

2017/7/2723:54:46

3cos2x+4sinx-k=0
は3(1-2sin^2x)+4sinx=k
sinxをAとおいて(0<=A<=1)
-6A^2+4A+3を平方完成して
-6(A-1/3)^2+11/3となり
Aの範囲のグラフを書き、y=kとの共有点がが2つとなるところが解となり
3<=k<=11/3となる
(0<=A<=1)は(0<=x<=5/6π)のときのsinの最大最小から来ています
違ってたらごめんなさいm(_ _)m

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