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局所体って、何ですか?

精神の人(魂の労働者)さん

2017/9/106:44:25

局所体って、何ですか?

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shi********さん

2017/9/522:29:06

素晴らしい回答が幾つもあるのに、

猫に小判

なのが、とても残念!

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ベストアンサー以外の回答

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2017/9/118:38:34

局所体とは、次の条件を満たす集合のこと。
① 剰余類体が有限であるような体である。
② 離散付値に関して完備である。

**********

局所体とは、上記の条件を満たす抽象的な枠組みのこと。数学の概念は制約が少ないほど実体をつかむのが難しい。
この質問は、「数とはなにか」などという問いに似ている。複素数以外のなにかを数と認めるのであれば、「数とはなにか」という質問に答えることはたちまち難しくなる。なぜなら、抽象的だから。
このような壮大な枠組みを導入するからこそ、より高い次元において議論が展開できる。

もうこの質問に答えることはできているが、定義に出てくる数学用語の意味を調べて形式的に憶えただけでは、「局所体とはなにか」を理解したとは言えないだろう(数学は暗記ではない)。
ではどうすればよいか。ある集合を挙げてそれが局所体であるか否かの判断がある程度自由にできれば、局所体の何たるやを理解しているといえよう。

**********

代表的な局所体にp進数体がある。
Q内のp進付値| |に関するコーシー列{a_n}全体の集合をFとする(コーシー列とは、任意のε>0に対しn_0が存在してm,n≧n_0なら|a_m - a_n |<εが成り立つような列である)
Fは{a_n}+{b_n}={a_n + b_n}, {a_n}{b_n}={a_n b_n}という演算で環をなす。
{a_n}はp進的に0に収束するとき零列という。Fの零列全体の集合Mが極大イデアルであることを示そう。
Mより真に大きいイデアルAが存在すると仮定すると、Mに含まれないAの元{a_n}が存在し、a_n≠0としてよい。
{(a_n)^(-1)}∈Fであり、{(a_n)^(-1)}{a_n}=1∈AよりAは1を含むのでA=Fとなる。
よってMは極大イデアルであり、F/Mは体である。(この辺の論法はイデアルの勉強をしていれば慣れているだろう)

(☆)Mはただ1つの極大イデアルで、F/Mが剰余類体である。
(☆)Fの任意のコーシー列はp進付値に関して収束する。これを、完備であるという。

yaj********さん

2017/9/118:28:15

有理数体や代数体には付値といって絶対値の拡張したものが定義できる
そこから距離がはいる。その距離について完備な体を局所体
付値による完備化が局所体になる
位相的にはたしか局所コンパクトになるはず

わかりやすい例は実数体、複素数体、p進有理数体など

tra********さん

2017/9/111:28:36

Qp(p進数体)とかR(実数体)とかC(複素数体)とかです。

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