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2017/10/10 18:50

11回答

0<|r|<1のとき、lim(n→∞)nr^nを証明せよ。という問題で解答に二項定理より (1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2 となることを用いて 0≦|nr^n|=n/(1/|r|)^n≦2/(n-1)h^2 としてはさみ込みこの後その

0<|r|<1のとき、lim(n→∞)nr^nを証明せよ。という問題で解答に二項定理より (1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2 となることを用いて 0≦|nr^n|=n/(1/|r|)^n≦2/(n-1)h^2 としてはさみ込みこの後その まま lim(n→∞)nr^n として証明していました。 ここで勝手に絶対値をはずしていい理由はなんなのでしょうか? 絶対値をつけたから0以上と置けたのに断りもなしにはずすのはバツ似ならないのでしょうか? また、|r|>0かつn→∞だからはさみうちの左側の不等号はイコールがつかないし二項定理の展開式の最初が1だからそれを消した右側の不等式もイコールがつかないと思うのですが解答はなぜイコールをつけているのでしょうか? イコールをつけたらバツとなるのでしょうか? 長文になりましたが回答よろしくお願いします。

補足

書いていただいた二つの定理には名前とかはあるのでしょうか? 自分でもより詳しく調べたいのですが検索のしようがなく、なにか検索用語とかありますでしょうか?

数学 | 高校数学410閲覧

ベストアンサー

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0 ≦ |nr^n| = n/(1/|r|)^n ≦ 2/(n-1)h^2 で lim[n→∞] 2/(n-1)h^2 = 0 だから、 lim[n→∞] |nr^n| = 0 まではいいですか? - |a_n| ≦ a_n ≦ |a_n| が成立するので、一般に lim[n→∞] |a_n| = 0 ⇒ lim[n→∞] a_n = 0 です。 よって、 lim[n→∞] nr^n = 0 です。 lim[n→∞] |a_n| = 0 ⇒ lim[n→∞] a_n = 0 は証明も簡単で直感的にも明らかなので、 わざわざ示さずに使っていいでしょう。 また、一般に α > b ⇒ a ≧ b が成立します。 よって > (<) でなく ≧ (≦) を使って構いません。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

回答ありがとうございました!

お礼日時:2017/10/15 21:33