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数学 円柱座標 単位ベクトル 円柱座標の単位ベクトル er=cosθex+sinθey eθ=-s...

hoh********さん

2017/10/2119:00:06

数学 円柱座標 単位ベクトル

円柱座標の単位ベクトル
er=cosθex+sinθey
eθ=-sinθex+cosθey
ez=eZ

の求め方を今日習ったのですが、逆にex ey eZ をer eθ ezであらわすにはどうすればよいのですか?
r=(x^2+y^2)^1/2, θ=arctan(y/x), Z=z

ベクトルを偏微分して、∂/∂x=x/(x^2+y^2)^1/2er+(-y)/(x^2+y^2)eθ
∂/∂xを|∂/∂x|で割りましたが、ex=cosθer-sinθeθにはどうやってもたどり着かないです。
eyも同様です。

一応、答えが直交行列になっているので転置すればex ey eZ はer eθ ezを1度求めれば簡単にわかることはできるのですが、er eθ ez を求めるとき同様にベクトルを偏微分してマグニチュードで割って単位ベクトルのex ey eZ を求められないのですか?

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zxc********さん

2017/10/2313:24:47

>> ベクトルを偏微分して、∂/∂x=x/(x^2+y^2)^1/2er+(-y)/(x^2+y^2)eθ
>> ∂/∂xを|∂/∂x|で割りましたが、ex=cosθer-sinθeθにはどう
>> やってもたどり着かないです。
.
根本的な誤認があります.
∂/∂x は,xが増加する方向を表わすベクトルではありません.
これは単に,何らかの量のx方向の変化量(スカラー)です.
.
xの増加する方向は,grad(x) です.(ベクトル)
(円柱座標系で表わす場合は,円柱座標のgradを用いる)
この方向が,x方向になる訳です.
したがって,単位ベクトルは,
. . ex=grad(x)/|grad(x)|
となります.
grad(x)=(∂x/∂r,(1/r)∂x/∂θ,∂x/∂z)=(cosθ,-sinθ,0)
|grad(r)|=1
ゆえに,
. . ex=(cosθ,-sinθ,0) = cosθex-sinθey

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ano********さん

2017/10/2210:15:07

∂x=x/(x^2+y^2)^1/2er+(-y)/(x^2+y^2)eθ

が求まったのならx=r cosθ、x=r cosθ
を代入すれば
ex=cosθer-sinθeθ
になると思いますが?

x,y消さなきゃダメでしょう?

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