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スタンダード202 (16 日本医大)

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ID非公開さん

2017/10/1508:37:44

スタンダード202 (16 日本医大)

座標平面上の2点P(t,t^2),Q(t-5,t^-4t+2)に対して、tが1≦t≦3の範囲を動くとき、次の各問いに答えよ。

(1) 線分PQを表す直線の方程式および定義域を、tを用いて表せ
(2) 線分PQが通過する領域Dを求め、図示せよ

答えを見ても、詳しい解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。

定義域,t-5 t,線分PQ,日本医大,方程式,詳しい解き方,直線

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hir********さん

2017/10/1510:55:42

この問題は、そんなに簡単ではない。
これが直線の通過領域なら、正像法でも、逆像法でも、包絡線で考えても良いが、求められているのは線分の通過領域。
直線ではなく、線分になると、問題はずつと難しくなる。

直線の方程式は、模範解答に書いてある通りだが、
それ位は自分で分かるだろう。
従って、それを動くtの方程式とみて、逆像法で解く。
f(t)=t^2+2(2x+1)t-(2x+5y)=0が、
1≦t≦3に少なくても1個の実数解を持つとよい。
・1個の時 ‥‥ f(1)f(3)≦0 ‥‥①
・2個の時 ‥‥ 判別式≧0、f(1)≧0、f(3)≧0、1≦軸≦3 ‥‥②

これが直線の通過領域だから、今度は線分の通過領域を考える。
線分だから、当然直線の通過領域よりは狭くなる。

条件から、t≦x≦t-5 → x≦t≦x+5、に
f(t)=t^2+2(2x+1)t-(2x+5y)=0が、少なくても1個の実数解を持つとよい。
従って、上と同じ事をやることになる。
・1個の時 ‥‥ f(x)f(x+5)≦0 ‥‥③
・2個の時 ‥‥ 判別式≧0、f(x)≧0、f(x+5)≧0、x≦軸≦x+5 ‥‥④

よつて、求める領域は、①と②の領域の中で、③、or、④の部分。

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gun********さん

編集あり2017/10/1509:52:52

tは媒介変数です

点P
x=t ・・・①
y=t^2なので
y=x^2
定義域 1≦x≦3 ※1
値域1≦y≦9

点Q
x=t-5・・・②
⇔t=x+5 定義値(-4≦x≦-2)※2
y=t^2-4t+2
=(t-2)^2-2 値域 -2≦y≦-1
なので
y=(x+3)^2-2

(1)

直線PQの方程式は二点PQを通る直線の方程式です。

なので、公式に当てはめれば
y-t^2={t^2-(t^2-4t+2)}/{t-(t-5)}
={(4t-2)/5}(x-t)
⇔y={(4t-2)/5}x+(t^2+2t)/5

定義域はt-5≦x≦t



通過領域に関しては最初と最後、すなわちt=1のときとt=3のときの直線を書きます。
このとき、間違っても(1)に代入ではなくP,Qに代入して結ぶようにしましょう
t=1でP(-4,-1)Q(1,1)ことのき
(0,3/5)を通る
[これは(1)の方程式にx=0,t=1を代入]

t=3でP(-2,-1)Q(3,9)ことのき(0,3)を通る
[これは(1)の方程式にx=0,t=3を代入]

とまあこんな感じに書いてもいいんでしょうけど、普通はしませんし、記述でやればほぼ点はないでしょう。
方法は3種類、逆手流、フアァクシミリの原理、あと名前忘れましたし使いにくいのがもう一個あります。通過領域の解き方の解法ですが…

(2)今回は逆手流というのもので解けという解説?なので手持ちの参考書、教科書で通過領域の問題を一度探してみて、分からなければ聞いていただければ続けます。

正直軸で場合分けしないといけないので書くのがすごくめんどくさいです…

すんません

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wan********さん

2017/10/1509:37:11

(1)
線分PQを表す直線の方程式⇒2点PQを通る直線の方程式
定義域⇒2点P,Qのxの範囲
(2)
PQの方程式は、直線:y=(4t-2)x+・・・
tを1から3まで変化させたときの直線:y=(4t-2)x+・・・(定義域は(1))が通る領域を書けばよい。
が、これは難しい。

考え方を変えて、直線の方程式を変形して
t^2+2(ax+1)t-2x-5y=0 1≦t≦3
これが成り立つようなx,yが求める領域である。
つまり、聞きなれた言い方をすれば
tについての2次方程式が、1≦t≦3の範囲で解をもてばよい。

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