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数学IIBのこちらの問題わかる方いらっしゃいますでしょうか?途中から分からなくな...

knt********さん

2017/10/2317:57:55

数学IIBのこちらの問題わかる方いらっしゃいますでしょうか?途中から分からなくなってしまいました。最初の方も当たっているか教えて頂けたら幸いですm(_ _)m

数学IIB,cos,別法,sin,u-v平面上,問題わかる方,交点

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dyt********さん

2017/10/2908:15:09

(1)2倍角の公式より,f(x) = sin(2*x)+1
sin(x)の周期が,2*πなので,sin(2*x)の周期は,その半分のπです.

(周期の考え方としては,xが0→πのとき,(2*x)は,0→2*πになる,という風に考えると分かりやすいと思います.)

-1≦sin(2*x)≦1だから,0≦sin(2*x)+1≦2
したがって,0≦f(x)≦2

(2) g(x) = cos(2*x)-2*√2*cos(x)+2
=(2*cos(x)*cos(x) -1) - 2*√2*cos(x)+2
= 2*cos(x)*cos(x) - 2*√2*cos(x)+1
=(√2*cos(x) - 1)²

よって,g(x)=0となるのは,
cos(x) = 1/√2のときに限られる.
0≦x<2*πでは,x=π/4またはx=(7/4)*πのとき.

(3) 方程式f(x) = g(x)
すなわち,2*sin(x)*cos(x)+1 = 2*cos(x)*cos(x) - 2*√2*cos(x)+1
整理して,sin(x)*cos(x) = cos(x)*cos(x) - √2*cos(x)
cos(x)*(sin(x) - cos(x) +√2) = 0
cos(x)=0またはsin(x) = cos(x) - √2

後者を
sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) = 1
に代入して,
(cos(x)- √2)*(cos(x)- √2) + cos(x)*cos(x) = 1
整理すると,
2*cos(x)*cos(x) - 2*√2*cos(x)+2 =1
cos(x)*cos(x) - √2*cos(x)+1/2=0
(cos(x)-(√2/2))²=0
cos(x) = √2/2
よって,sin(x) = √2/2 - √2 = -√2/2
このとき,x=(7/4)*π

(答え) x=π/2, (3/2)*π, (7/4)*π

別法1 (媒介変数表示で,図形的に考える)
cos(x)=u, sin(x) =vと置くと,
u=0, v = u - √2, u² + v² =1
u-v平面上で,原点を中心として半径1の円と,直線u=0との交点は,(0,1),(0,-1)の2点.このとき,xは,それぞれ,π/2, (3/2)*π.
u-v平面上で,原点を中心として半径1の円と,直線v = u - √2との交点を考えると,u=1/√2, v=-(1/√2)の接点のみ.このとき,x=(7/4)*π.

(答え) x = π/2, (3/2)*π,(7/4)*π


別法2(穴埋め問題で,この場合,3つの解を見つけたもん勝ち!)
(2)より,cos(x)=1/√2のとき,g(x)=0になるが,さらに,f(x)=2*(1/√2)*sin(x)+1=0,すなわち,sin(x)=-1/√2にもなるxは,求める解の一つ.cos(x)=1/√2,かつ,sin(x)=-1/√2を満たす,x=(7/4)*πのとき,f(x)=g(x)=0になる.

また,cos(x)=0のとき,g(x) = 2*cos(x)*cos(x)-2*√2*cos(x) +1 = 1となるが,ことのき,f(x)=2*sin(x)*cos(x)+1 =1.
よって,cos(x)=0を満たす,x = π/2, または,x=(3/2)*πのとき,f(x)=g(x)=1となるので,これらは求める解のうちの2つ.

(本当は,これら3つの他には解がないことを示さなければならないが,穴埋め問題なので,これで終了.
時間の限られた試験では,こういうやり方もありでしょう.)

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