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2017/10/27 6:36

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xの整式 P(x)=x^3+px^2+qx−(p+q+1)があり、P(x)をx−2で割ると余りがp+5である。ただし、p、qは実数である。

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(1): 剰余定理より、P(2)=8+4p+2q-(p+q+1)=p+5; 7+3p+q-5=0; q=-3p-2; (2): (1)より、q=-3p-2を代入すると、 P(x)=x^3+px^2-(3p+2)x+(2p+1); P(1)=0 P(x)=(x-1)(x^2+(p+1)x-(2p+1))=0; x^2+(p+1)x-(2p+1)=0の判別式より、 D=(p+1)^2+4(2p+1)=p^2+10p+5<0; -5-2√5,<p<-5+2√5; (3):αβ=2p+1, α+β=-(p+1), γ=1より、 与式=(8/αβγ)+2(α+β+γ)=8/(2p+1)+2(-(p+1)+1) =8/(2p+1)-2p=g(p) g´(p)=-16/(2p+1)^2-2>0(ただし、P=-1/2をのぞく) どうも、へんです。最小値が定まりません。pの値域内で単調減少です。境界は含まれないので、のぞかれます。

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P(x)=x^{3}+px^{2}+qx-(p+q+1) 仮定より、P(2)=p+5なので、 P(2)=3p+q+7だから 3p+q+7=p+5 したがって、q=-2p-2 (2)q=-2p-2をP(x)に代入すると、 P(x)=x^{3}+px^{2}-(2p+2)x+p+1 P(1)=0なので、P(x)は(x-1)で割り切れる。 P(x)=(x-1)(x^{2}+(p+1)x-(p+1)) ここで、 P(x)=0は虚数解を持つので、 x^{2}+(p+1)x-(p+1)=0が虚数解を持てば良い。 判別式D=(p+1)^{2}+4(p+1)=(p+1)(p+5)<0 したがって、 -5<p<-1 (3) P(x)=0の解は、α, βという虚数解と実数解γである。 (2)より、γ=1である。 x^{2}+(p+1)x-(p+1)=0の解が、α, βという虚数解なので、 α+β=-(p+1), αβ=-(p+1) となる。 f(p)=8/(αβγ)+2(α+β+γ)=-8/(p+1)-2p (-5<p<-1) となる。 pで微分して、 f'(p)=-2(p-1)(p+3)/(p+1)^{2} p.............-5.............-3...................-1 f'(p)................-.......0.........+............. f(p)..............↘︎....極小値.....↗︎......... したがって、 p=-3のときf(p)は最小値10を取る。

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