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流体力学に関する質問です。 問題. 密度ρを一定の値とする。

sawhe6811さん

2017/11/2302:00:07

流体力学に関する質問です。

問題. 密度ρを一定の値とする。

またx-y-z空間(z≧0)で、圧力P=P(x,y,z)が
P=P(x,y,z)=Ps exp(cz)-P₀ exp(cz-(x^2+y^2/a^2))
(Ps>P₀, P₀>0,a,cは0でない定数)と表されるとする。z方向はm鉛直上向きにとり、x-y平面を水平面とする。原点をOとする。ここでベクトルの水平成分とは、そのベクトルを水平面に射影したベクトルをいう。

(1)x-y平面上(z=0)において、原点Oにおける圧力と、原点から十分遠い場所における圧力を求めよ。
(2)x-y平面上(z=0)において、等圧線はどのような曲線になるか。
(3)x-y平面上(z=0)において、圧力傾度力のx,y成分を各各求めよ。

この問題についてですが、問題の意味とどういう式が必要なのかがあまりよく分からないです。
誰かわかる方いましたら解説お願いします。

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rotennyuさん

2017/11/2318:38:41

3問とも共通して z=0 の場合なので、
P(x, y, 0) = Ps - P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2)
を考えるだけでOKです。

(1) 原点Oでの圧力は
P(0, 0, 0) = Ps - P0.
原点から充分に遠い場所では
exp(-(x^2+y^2)/a^2) → 0 (x, y → ∞)
であり、
exp(-(x^2+y^2)/a^2) → 0
なので、
P(x, y, 0) → Ps.

(2) P(x, y, 0) = 定数 であるためには、x^2+y^2 が定数でなければなりません。
x^2+y^2 = 定数
という式は、原点を中心とする円を表します。
よって、等圧線は原点を中心とする円になります。

(3) 圧力傾度力 F は、
F = -1/ρ (∂P/∂x, ∂P/∂y)
で表されます。
この問題では
P(x, y, 0) = Ps - P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2)
なので、
∂P/∂x = 2x/a^2 P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2),
∂P/∂y = 2y/a^2 P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2).
よって、
Fのx成分は -2x/(ρa^2) P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2),
Fのy成分は -2y/(ρa^2) P0 exp(-(x^2+y^2)/a^2).

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