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△ABCにおいてsinA:sinB:sinC=7:5:4が成り立ち、三角形の内接円の面積が6πであると...

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ID非公開さん

2017/11/2023:02:48

△ABCにおいてsinA:sinB:sinC=7:5:4が成り立ち、三角形の内接円の面積が6πであるとき、3辺の長さを求めると(AB、BC、CA)=(1)である。

(1)を教えて下さい
解き方を教えて下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/11/2023:50:41

BC/sinA=A/sinB=AB/sinC
sinA:sinB:sinC=7:5:4 より
BC:CA:AB=7:5:4
BC=7k、CA=5k、AB=4k とおくと
余弦定理より
cosB={(4k)^2+(7k)^2-(5k)^2}/(2*4k*7k)
=5/7
sinB=√{1-(5/7)^2}=2√6/7
△ABC=(1/2)*4k*7k*(2√6/7)
=4√6*k^2

内接円の中心をI、半径をr とすると
△ABC=△IAB+△IBC+△ICA=(1/2)(4k+5k+7k)r
=8kr
よって
8r=4√6*k^2
r=(√6/2)k
内接円の面積=π*{(√6/2)k^2=(3/2)k^2*π

(3/2)k^2*π=6π
k^2=4
k>0 より
k=2

したがって
(AB,BC,CA)=(8,14,10)

以上のようになります。

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