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5で割ると4余り、17で割ると5余るような400以下の自然数をすべて求めよ。

chi********さん

2018/1/415:49:03

5で割ると4余り、17で割ると5余るような400以下の自然数をすべて求めよ。

解き方をお願いします。

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135
回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

wat********さん

2018/1/416:32:01

まず、式にします。

5で割ると4余る
→5a+4

17で割ると5余る
→17b+5

どちらも同じ数なので=で結びます。
5a+4=17b+5

aとbを左辺に集め、定数は右辺に集めます。
5a-17b=1 …①

適当な数を入れて右辺になるものを探します。
この問題の場合、5aは一の位が0か5なので、
17bの一の位が、9か4になるものを探します。
ぱっと思いつくのが
b=2のときの
17b=34
そうすると
5a=35で
a=7
…☆
(まぁこの時点で解はわかるのですが、あえて書くと)

式にします。
5×7-17×2=1 …②

①-②をします。
5a-5×7 -17b-(-17×2)=1-1
5(a-7)-17(b-2)=0
bを右辺いもっていき、
さらに5と17の公倍数の(5×17)を係数とする(5×17)kを=で追加します。
5(a-7)=17(b-2)=(5×17)k

5(a-7)=(5×17)kより
a-7=17k
a=7+17k

17(b-2)=(5×17)kより
b-2=5k
b=2+5k

(これらのa,bは、上記☆の段階ですぐわかるんですが。)


もとの数は
5a+4
=5(7+17k)+4
=39+85k

もしくは、bのほうから
17b+5
=17(2+5k)+5
=39+85k
でもいいです。


400以下の自然なので
1≦39+85k≦400

1≦39+85kより
-38≦85k
0≦k

39+85k≦400
85k≦361
k≦4.2…
k≦4

よって
39、124、209、294、379

質問した人からのコメント

2018/1/6 22:43:05

御二方ともご回答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2018/1/417:50:28

N=5a+4=17b+5、となる。

5a=17b+1を解くと、特別解が(a、b)=(7、2)だから、
5(a-7)=17(b-2)、と変形出来る。
17と5は互いに素から、kを整数として、a-7=17k、b-2=5k‥‥①

従って、①より、N=5a+4=17b+5=85k+39 ‥‥②.
条件から、10≦85k+39≦400 → 0≦k≦4 ‥‥③

②より、N=85k+39、だから、③より
N=39、124、209、294、379、の5個。


質問者:chielien_482da79cf4ff62c79cf1d6e3さん。2018/1/415:49:03

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