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証明が省略されていてわかりません!

sho********さん

2018/1/1112:36:14

証明が省略されていてわかりません!

fがaを含む区間IにおいてC^∞級で、Iの各点xで剰余項の極限が0
⇒fはI上でテイラー展開可能

f(x)=Σ[n=0 to ∞]{f^(n)(c)・(x-a)^n/n!+(n次剰余項)}

たぶんここから、

f(x)=Σ[n=0 to ∞]{f^(n)(c)・(x-a)^n/n!}+Σ[n=0 to ∞]{(n次剰余項)}

とするのかなと思うんですが、
Σ[n=0 to ∞]{f^(n)(c)・(x-a)^n/n!}が収束するとは限らないですよね?

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ベストアンサーに選ばれた回答

nar********さん

2018/1/1418:23:25

fがaを含む区間IにおいてC^∞級で、Iの各点xで剰余項の極限が0
とする.

テイラーの定理より, 任意のx∈I, 任意のn∈Nに対し,
xとaの間のx_aが存在し,

f(x)=Σ_{k=0}^{n}(f^{(k)}(a)/(k!))(x-a)^k +(f^{(n)})(x_a)/(n!))(x-a)^n

となる. よって,

|f(x)-Σ_{k=0}^{n}(f^{(k)}(a))/(k!))(x-a)^k|
=|(f^{(n)})(x_a)/(n!))(x-a)^n|→0
(n→∞)

だから,

f(x)=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n}(f^{(k)}(a))/(k!))(x-a)^k
=Σ_{n=0}^{∞}(f^{(n)}(a))/(k!))(x-a)^n

  • 質問者

    sho********さん

    2018/1/1418:49:24

    |(f^{(n)})(x_a)/(n!))(x-a)^n|→0 (n→∞)
    となるのはなぜですか?

    Σ|a_n|が収束する
    ⇒Σa_nが収束する
    ですが逆は成り立たないと思うのですが



    |f(x)-Σ_{k=0}^{n}(f^{(k)}(a))/(k!))(x-a)^k|
    =|(f^{(n)})(x_a)/(n!))(x-a)^n|→0 (n→∞)
    から
    f(x)=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n}(f^{(k)}(a))/(k!))(x-a)^k
    を導出する過程を詳しく教えて欲しいのですが

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