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確率変数XとYが独立で同一な分布に従っている。

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ID非公開さん

2018/1/1513:58:48

確率変数XとYが独立で同一な分布に従っている。

その確率密度関数は次のように与えられている。
f(u)=
{
e^(-u) u>0
0 その他の場合

(1)XとYの結合確率密度関数を求めよ
(2)Z=X+Yの分布を求めよ

よろしくおねがいします。

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h7n********さん

2018/1/1514:37:20

(1)
X, Y は独立なので

同次確率密度関数を g(x, y) とすれば

g(x, y) = f(x)f(y)

= e^(-x-y) (x > 0, y > 0), 0 (それ以外)

(2)
y = z - x より

z の確率密度関数を h(z) とすれば

h(z) = ∫[-∞→∞]g(x, z-x)dx

= ∫[0→z]e^{-x-(z-x)}dx

= ze^(-z) ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬

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