0≦θ≦πにおいて cos2θ+√3sin2θ-2cosθ+2√3sinθ≧2 を満たすθの値の範囲を求めてください。

0≦θ≦πにおいて cos2θ+√3sin2θ-2cosθ+2√3sinθ≧2 を満たすθの値の範囲を求めてください。 また、0≦θ≦πにおいて cos2θ+√3sin2θ-2cosθ+2√3sinθ=9/4 を満たすθの個数を求 めてください。

補足

別のサイトに質問したところ、後半の問題の回答はやはり3つでした。間違えをベストアンサーにしてしまっています。同じ問題を質問された方、もう一度回答を確認した方がいいと思います。

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0≦ϴ≦π cos2ϴ+(√3)sin2ϴ -2cosϴ+(2√3)sinϴ は、ϴの関数(function)なので f(ϴ)とおきます。 2倍角の公式より、 f(ϴ)= 1-2sin²ϴ+(2√3)sinϴcosϴ +2{(√3)sinϴ -cosϴ}ですね。 -2cosϴ+(2√3)sinϴが 2{(√3)sinϴ -cosϴ}となって 三角関数の合成が できる、ということに 気づくことがポイントです。 t=(√3)sinϴ -cosϴと おくと、 t²=2sin²ϴ -(2√3)sinϴcosϴ+1 なので、 変形すると、 1-t²= -2sin²ϴ+(2√3)sinϴcosϴ ですよね。 したがって、 f(ϴ)の-2sin²ϴ+(2√3)sinϴcosϴの 部分は1-t²と置き換えられ、 (√3)sinϴ -cosϴの部分は tと置き換えられるので、 f(ϴ)=1+(1-t²)+2t= -t²+2t+2 となります。 ここで、新たに、 f(t)= -t²+2t+2というように 変数をtに考え直します。 また、 t=(√3)sinϴ -cosϴは 三角関数の合成により、 t=2sin(ϴ -π/6)となります。 ϴの範囲は、 0≦ϴ≦πなので、 これの各辺から π/6をひくと、 -π/6≦ϴ -π/6≦5π/6 この角度範囲では、 sinの値の範囲は、 -1/2≦sin(ϴ -π/6)≦1 となりますね。 さらに各辺に2をかけると、 -1≦2sin(ϴ -π/6)≦2 ϴの範囲から、 tの範囲、-1≦t≦2を だせました。 ようやく準備完了です。 f(t)= -t²+2t+2≧2を解くと、 t(t-2)≦0となるので、 0≦t≦2となります。 tの元々の範囲である、 -1≦t≦2を考えると、 0≦t≦2は許容範囲なので tの範囲は0≦t≦2ですね。 t=2sin(ϴ -π/6)が0になる ϴは0≦ϴ≦πの範囲では ϴ=π/6だけですね。 t=2sin(ϴ -π/6)が2になる ϴは0≦ϴ≦πの範囲では ϴ=2π/3だけですね。 よって、ϴの範囲は、 π/6≦ϴ≦2π/3と なります。 同様にして、 f(t)= -t²+2t+2=9/4を 解くと、 4t² -8t+1=0になって 解の公式より、 t=(2±√3)/2となります。 t=2sin(ϴ -π/6)なので、 2sin(ϴ -π/6)=(2+√3)/2 2sin(ϴ -π/6)=(2-√3)/2 sin(ϴ -π/6)=(2+√3)/4 sin(ϴ -π/6)=(2-√3)/4 (2+√3)/4はだいたい0.67 (2-√3)/4はだいたい0.07 なので、 「プラスの値で でてきた」というのが 認識できますね。 0≦ϴ≦πでは、 sinというのは、 0≦ϴ<π/2で1回、 π/2<ϴ≦πで1回、 合計で2回同じプラス とることができます。 なので、 ひとつの値につき、 2つのϴがでてきます。 なので、 f(ϴ)=9/4を満たすϴは 4つ存在します。