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平面-2x+3y-z=3に関して点(-3,7,-4)と対称な点の座標を求めよ。という問題がわ...

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ID非公開さん

2018/1/2117:43:18

平面-2x+3y-z=3に関して点(-3,7,-4)と対称な点の座標を求めよ。という問題がわかりません。助けてください。

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gor********さん

2018/1/2510:19:10

平面の法線ベクトルを求め、その点を通って平面に交わる点をまず求めます。次に対称な点を求めます。立体図形の中では基本的な問題ですが、やり方を知らないと解けないので、解けるようにしておきましょう。


平面(-2x+3y-z-3=0)の法線ベクトルの1つは、n↑=(-2,3,-1)である。
問題の点をAとし、A(-3,7,-4)を通って n↑に平行な直線上の点(x,y,z)は、
x=-2t-3
y=3t+7
z=-t-4
と置ける。これを平面の式に代入しても止まるtのときの座標が、Aから平面に下ろした垂線の足の座標である。

-2(-2t-3)+3(3t+7)-(-t-4)=3
4t+6+9t+21+t+4-3=0
14t+28=0
t=-2
よって垂線の足の座標は、(1,1,-2)

求める対称な点をB(a,b,c)と置くと、ABの中点がこの足の座標になるから、
( (a-3)/2,(b+7)/2,(c-4)/2)=(1,1,-2)
(a-3)/2=1
(b+7)/2=1
(c-4)/2=-2

これを解いて、
a=5
b=-5
c=0

ゆえに、対称となる点は (5,-5,0)

//

あと、これは高校二年のベクトルの問題ですよね。次回からカテゴリー分けは「数学」ではなくて、「高校数学」にした方が、カテ住民が多いので早く回答がつきますよ。

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