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そういえば電子とかのスピンってs_x,s_y,s_zとあるのですが、このx,y,zって空間のx...

rma********さん

2018/3/1309:19:37

そういえば電子とかのスピンってs_x,s_y,s_zとあるのですが、このx,y,zって空間のx,y,zですか?

図でも矢印で描かれるので、なんかそういう気になっちゃうのですが、内部構造であって空間とは全く関係なかったりするんですか?

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pis********さん

2018/3/1315:48:29

元々は関係ありません。

電子のスピンは二成分複素ベクトル(スピノル)で表されます。
角運動量は、回転変換の表現と密接に関係しています。
そこで、二成分複素ベクトルの回転行列がどのようになるかという問題を考えると
二成分複素ベクトルなので、回転行列は

⎛A B⎞
⎝C D⎠

というような形になるのですが(A,B,C,Dも複素数)

(1)回転なので、ノルムが変わらない
(2)鏡映変換もノルムが変わらないので、ノルムを変えない変換から鏡映変換を除く

という条件で、A,B,C,Dに様々な制約がついていって、最終的に自由に取れるパラメータは三つであることが示せます。この三つの自由にとれるパラメータはそれぞれの軸周りの回転角と解釈できます。

というわけで、二成分複素ベクトルは三つの回転軸を持つことがわかります。
これをx、y、zに当てはめます。


これは幾何学的な考察で出てきている話ではないので、普通の空間のx、y、zとは直接は関係ありません。そもそも二成分複素ベクトル(スピノル)という、どう表現していいのかわからないようなもので表現されているため、一般のベクトルのように図で表現しようとしても、わけがわかりません。
数式でしか表せないようなものです。

繰り返しますが、スピンのx,y,zは”二成分複素ベクトルの回転行列の自由度が3であることから、二成分複素ベクトルには三種類の角運動量が存在する”というところから出てきているもので、我々が住む空間が3次元であることとは直接関係ありません。

にもかかわらず、一般的なベクトルと内積をとるようなことはできます。
磁場Bは普通のベクトルですが、

B・S=BxSx+BySy+BzSz

みたいなものは計算できます。
そういう意味では普通の空間のベクトル成分のように扱える場合もあります。


ちなみに、N成分複素ベクトルの自由に取れるパラメータは、N²-1で与えられます。二成分複素ベクトルの場合、2²-1=4-1=3です。
三成分複素ベクトルの場合は。3²-1=9-1=8です。
実はこの8というのはグルーオンが8種類であることと関連しますが、グルーオンが8次元空間で回転するという話ではありません。これこそ通常の空間とはまったく関係ない内部空間の話です。

質問した人からのコメント

2018/3/13 22:04:57

逆に我々の住む三次元空間とはそのように規定されているのかもしれないですね
ありがとうございました!

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mar********さん

2018/3/1310:54:10

空間のx,y,zです。
通常は、磁場方向などの特異的な方向を人間がz方向に定めます。

mat********さん

2018/3/1310:42:44

空間のx,y,zで正しいです。
s_x, s_y, s_zの期待値は、粒子に対してそれぞれx軸方向, y軸方向, z軸方向のスピンを測定したときの測定結果の平均を意味します。
また、軸の取り方には任意性があるのですが、一応、量子力学の話をするときには波動関数としてs_zの固有ベクトルを選んで話を進めることが"お約束"となっています。

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tor********さん

2018/3/1310:12:18

電子スピンにx,y,zなんてあるか?軌道角運動量と勘違いしているのでは。

mi5********さん

2018/3/1309:54:26

空間のx,y,zです。

空間のx,y,zです。

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