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三角関数の問題です。

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ID非公開さん

2018/3/1401:57:16

三角関数の問題です。

わかりやすく解答と解法を教えてください!

0°≦x≦180°のとき、関数
f(x)=sin²x+2√3sinxcosx-cos²x+1は
x=( )°のとき、最大値をとり、x=( )°のとき、最小値をとる。
次の関数の最大値と最小値、およびそれぞれのときのxの値を求めよ。ただし、0°≦x<360°とする。

f(x)=sin³x+cos³x+3sinxcosx(sinx+cosx-2)

補足すみません。出来るだけわかりやすく!で構いません。

閲覧数:
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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

per********さん

2018/3/1402:21:28

(1)
f(x)=sin²x
+(2√3)sinx cosx -cos²x +1

並べ替えるて
変形すると、

f(x)= -(cos²x -sin²x)
+(√3)×2sinx cosx +1

ここで、
2倍角の公式
sin2x=2sinx cosx
cos2x=cos²x -sin²xより、

f(x)=(√3)sin2x -cos2x +1
となります。

さらに、
三角関数の合成により、
f(x)=2sin(2x -30°) +1
となります。

ここで、
0°≦x≦180°より、
各辺を2倍すると、

0°≦2x≦360°
各辺から30°をひくと

-30°≦2x -30°≦330°

この角度範囲では、
単位円を1周しているので
sinの値に変換すると、

-1≦sin(2x -30°)≦1と
なります。

各辺を2倍すると、
-2≦2sin(2x -30°)≦2

各辺に1をたすと、
-1≦2sin(2x -30°) +1≦3

となり、
y=2sin(2x -30°) +1なので

-1≦y≦3となるから、
f(x)の最大値は3、
最小値は-1となります。

y=3のとき、
2sin(2x -30°) +1 =3なので
sin(2x -30°)=1
1=sin90°と考えると、

sin(2x -30°)=sin90°
2x -30°=90°
2x=60°
x=30°となり、

y= -1のとき、
2sin(2x -30°) +1 = -1なので
sin(2x -30°)= -1
-1=sin270°と考えると、

sin(2x -30°)=sin270°
2x -30°=270°
2x=240°
x=120°となりますので、

f(x)は、

x=30°のとき
最大値3をとり、

x=120°のとき
最小値-1をとります。

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    質問者

    ID非公開さん

    2018/3/1403:14:44

    長いのに、解答ありがとうございました!助かります!

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2018/3/14 03:15:21

ありがとうございます。

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