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(S,σ)を位相空間とし、MをSの部分集合とする。Mの開核をM°とおく。

sho********さん

2018/3/2711:40:17

(S,σ)を位相空間とし、MをSの部分集合とする。Mの開核をM°とおく。

M°は次の3条件によって特徴づけられる
(2.1) M°⊆M
(2.2) M°∈σ
(2.3) O⊆M, O∈σ ⇒ O⊆M°

定理
開核作用子は次の性質を持つ。
(Ii) (略)
(Iii) (略)
(Iiii) 任意のSの冪集合の元、M,Nに対して (M∩N)°=M°∩N°
(Iiv) (略)

証明
(Ii),(Iii),(Iiv)の証明は省略。
(Iiii)を示すためには、集合M∩Nに対して、M°∩N°が開核の条件(2.1),(2.2),(2.3)を満たすことを言えばよい。証明略。
M°∩N° ⊆ M∩N
M°∩N° ∈ σ
O ⊆ M∩N, O ∈ σ ⇒ O ⊆ M°∩N°
が示せた。よって(Iiii)を示せた。


M°がMの開核
⇒開核の条件(2.1),(2.2),(2.3)を満たす

は明らかですが、
開核作用子の定理を見る限り

開核の条件(2.1),(2.2),(2.3)を満たす
⇒M°がMの開核

も成り立つんですよね?証明がわかりません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

rot********さん

2018/3/2713:19:53

まず、定義を振り返りましょう。
Mの開核とは、"Mに含まれるような開集合全体の和集合"と定義されています。
あるいは、Mに含まれるような開集合の中で最大のものがM°であるともいえます。
(おそらく、「集合・位相入門」(松坂和夫)を参考にされていることと思います。)

で、ご質問内容
開核の条件(2.1), (2.2), (2.3)を満たす ⇒ M°がMの開核
についてです。
条件(2.1)と(2.2)で M° がMに含まれる開集合であると規定し、
条件(2.3)ではそのような開集合の中で M° が最大であることを保証しています。
したがって、条件(2.1)~(2.3)を満たす M° はMの開核になります。
(別の言い方をすれば、条件(2.1)~(2.3)は満たすが開核ではないような集合は存在しないことが簡単に分かります。)

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