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xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29

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ID非公開さん

2018/4/1523:07:36

xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29

この問題の解答の意味がわかりません…
どなたかわかりやすい解答をお願いします…

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ベストアンサーに選ばれた回答

雪子さん

2018/4/1606:41:49

f(x)は整式であるという条件があるのではないかと思います。以下、この条件のもとで考えます。

f(x)はn次式であるとし、f(x)=a_nx^n+…と表せるとしましょう。
このとき、f(x^2-1)=a_n(x^2-1)^+…より、f(x^2-1)は2n次式です。
よって、xf(x^2-1)は2n+1次式です。
xf(x^2-1)の方が-5f(x)よりも次数が高いので、左辺は2n+1次式です。

次に右辺についてですが、(x^3+1)f(x-1)はn+3次式です。
-2(x-1)f(x+1)-4x-29はこれよりも次数が低いので、右辺はn+3次式です。

恒等式の両辺の次数は等しいので、
2n+1=n+3
が成り立ちます。これより、
n=2となります。

あとは、改めてf(x)=ax^2+bx+cとおき、
xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29
をa,b,cで表して係数を比較することによって、a,b,cを求めます。

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