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円に内接する四角形ABCDがあります。

awa********さん

2018/5/1215:03:13

円に内接する四角形ABCDがあります。

四角形について次の問題を答えてください
(1)∠CAD=∠BANとなるように、
対角線BD上に点Nをとるとき、
AB×CD=AC×BN
となることを証明してください

(2)AB×CD+BC×DA=AC×BD(トレミーの定理)を証明してください

AB×CD,AC×BD,AC×BN,AB×CD+BC×DA,四角形,AC×BN+AC×ND,トレミー

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/5/1215:26:42

(1)
∠CAD=∠BAN
円周角の定理より
∠DCA=∠NBA
よって
△DAC∽△NAB
∴ AC:AB=CD:BN
したがって
AB×CD=AC×BN ............................①
---------------------------------
(2)
∠BAC=∠NAD となるから (1)と同様にして
△BAC∽△NAD となり
AC:AD=BC:ND
∴ BC×DA=AC×ND ......................②

①②より
AB×CD+BC×DA
=AC×BN+AC×ND
=AC(BN+ND)
=AC×BD

したがって
AB×CD+BC×DA=AC×BD

という
トレミーの定理が成り立つことになります。

質問した人からのコメント

2018/5/14 09:18:37

分かりやすくて良かったです

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