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数学の問題がわかりません

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ID非公開さん

2018/6/1502:49:12

数学の問題がわかりません

誰か教えてください

A(1、0、0)、B(0、2、1)、C(1、2、2)の3点がある

1)3点を含む平面Xの方程式を求めよ

2)原点Oを中心として平面Xに接する球Sの方程式と接点Pを求めよ

3)接点Pが三角形ABCの中にあるか否かと、その理由を示せ

すみませんがよろしくお願いします

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nij********さん

2018/6/1506:26:41

1)
A(1,0,0)
B(0,2,1)
C(1,2,2)
を通る平面の方程式を、
ax+by+cz+d=0.....(#)
(a,b,c,dは定数)
と置くと、
a +d=0......(1)
2b +c+d=0......(2)
a+2b+2c+d=0......(3)

d=-a.......(4)

(3)-(2)
a+c=0
c=-a........(5)

(2),(4),(5)
2b+(-a)+(-a)=0
2b-2a=0
b=a........(6)

(#),(4),(5),(6)
ax+ay-az-a=0

a=0とすると、
(a,b,c,d)
=(0,0,0,0)
より、
a≠0
よって、
x+y-z-1=0..........(こたえ)

2)
O(0,0,0)
と平面の距離は、
|0+0-0-1|/√{1²+1²+(-1)²}
=1/√3
求める球の方程式は、
x²+y²+z²=(1/√3)²
x²+y²+z²=1/3......(こたえ)

接点Pの座標は、
x+y-z=1
x²+y²+z²=1/3
を解く。

(別解)
直線
OP:(x-0)/1=(y-0)/1=(z-0)/(-1)(=k)

x+y-z=1
の交点
を求める。

x=k,y=k,z=-k

k+k-(-k)=1
3k=1
k=1/3
P(1/3,1/3,-1/3)

3)
ベクトル記号を、$
としますね。
$OP
=(1/3,1/3,-1/3)

$OP
=s$OA+t$OB+u$OC
s+t+u=1
s,t,uは定数

と置く。

$OP
=s(1,0,0)+t(0,2,1)+u(1,2,2)
=(s,0,0)+(0,2t,t)+(u,2u,2u)
=(s+u,2t+2u,t+2u)

s +u=1/3.....①
2t+2u=1/3.....②
t+2u=-1/3...③

②-③
t=2/3.......④

③,④
(2/3)+2u=-1/3
2u=-1
u=-1/2<0....⑤

よって、
P(1/3,1/3,-1/3)
は、
△ABCの外部にある。




(参考)
内部にある場合には、
s>0,t>0,u>0




如何でしよう?

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質問した人からのコメント

2018/6/15 09:33:06

とても丁寧に回答していただきありがとうございました!!!
本当に助かりました!

ありがとう(๑>◡<๑)

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