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有限集合に定義された位相がHausdorffであるとき、その位相は離散位相以外にありえ...

sincostanintegralさん

2018/7/2009:35:33

有限集合に定義された位相がHausdorffであるとき、その位相は離散位相以外にありえますか?

証明または反例を教えてください

Hausdorff:x,y∈Xかつx≠yのとき、{x}⊂U,{y}⊂VかつU∩V=∅となる開集合U,Vが存在する
離散位相:すべての部分集合が開集合である

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aga********さん

2018/7/2018:31:22

離散位相しかないです。

以下、Xを有限ハウスドルフ位相空間として証明。

Xの任意の一点部分集合が開集合となることを示せば十分。(位相の公理からそれらの和集合が開集合なので)

Xの点 x を任意に取る。

すると、x 以外の各点y に対し, {x}⊂U_y,{y}⊂V_yかつU_y∩V_y=∅となる開集合U_y,V_yが存在する。各yに対し、このようなU_yを一つずつ固定する。

このとき{x}は全てのU_yの共通部分となる。

Xは有限集合より、{x}は有限個の開集合の共通部分なので開集合。

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