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数3です。この定積分を教えてください。

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ID非公開さん

2018/7/2215:27:41

数3です。この定積分を教えてください。

定積分,xlogxdx,logx,べき乗,0 1,tdt,解答

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/7/2215:48:52

部分積分を使います

f=logx,g’=√x=x^(1/2)
f’=1/x,g=(2/3)x^(3/2)とおく

∫「1→e」√xlogxdx
={(2/3)x^(3/2)・logx}「1→e」
-∫「1→e」{1/x・(2/3)x^(3/2)}dx

=(2/3){e^(3/2)}
-(2/3)∫「1→e」{x}dx

=(2/3){e^(3/2)}-「x^2/2」「1→e」
=(2/3){e^(3/2)}-(1/2)(e^2-1)

=(2/3)e^(3/2)-(1/2)e^2+1/2
になります。

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ベストアンサー以外の回答

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ten********さん

2018/7/2811:28:34

見ずらいかもしれません。拡大してみてください。

見ずらいかもしれません。拡大してみてください。

n_k********さん

2018/7/2807:47:53

(1)P=∫「1,e]√xlogxdx
logx=tと置換します。
dt/dx=1/x
dx=e^tdt
x:1→e t:0→1
x=e^tなので
√x=√e^t
P=∫[0,1]√(e^t)*t*e^tdt=∫[0,1]e^(3t/2)*tdt
P=∫[0,1]{(2/5)e^(5t/2)}'*tdt
=(2/5)e^(5t/2)}*t[0,1]-(2/5)∫[0,1]e^(5t/2)dt
=(2/5)e^(5/2)-(2/5)(2/7)e^(7t/2)「0,1]
=(2/5)e^(5/2)-{(2/5)(2/7)e^(7/2)-(2/5)(2/7)}
=(2/5)e^(5/2)-{(2/5)(2/7)e^(7/2)-4/35
=2e^(5/2)(7-2e)/35

ん?

既に回答あるので遠慮しようかと思ったが

自分の解答と違うようだから、解答を載せてみる。。。

ーー

◆xのべき乗と、logの掛け算では、logx⇒微分⇒1/xにして、
◆xのべき乗と融合させるのは当然だから、勿論、部分積分を使いますよ!

∫[x=1~e] √x・logx・dx
=∫[x=1~e] x^(1/2)・logx・dx ←◆∫x^(1/2)・dx=(2/3)・x^(3/2)
={(2/3)・x^(3/2)・logx}[x=1~e] ←◆定積分は{ }[x=1~e]の形
-∫[x=1~e] {(2/3)・x^(3/2)}・1/x・dx ←◆(logx)’=1/x
=(2/3)・e^(3/2)-(2/3)・∫[x=1~e] x^(1/2)・dx
=(2/3)・e^(3/2)-(2/3)・{(2/3)・x^(3/2)}[x=1~e]
=(2/3)・e^(3/2)-(2/3)・(2/3)・{e^(3/2)-1}
=(2/9){e^(3/2)+2}

になりますよ。

計算ミスあらば、ご容赦。。◎┓

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