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位相空間(X,Ox)を固定する。 次を満たすある列{xn}(n=1~∞)⊆Xが存在する時{xn}(n=...

はるさん

2018/8/211:29:00

位相空間(X,Ox)を固定する。
次を満たすある列{xn}(n=1~∞)⊆Xが存在する時{xn}(n=1~∞)がdenseであることを確かめたいです。

・任意のXの非空開集合Oに対して{xn}(n=1~∞)のある元xiが存在し、Oはxiを含んでいる。

Denseであることの定義からして{xn}(n=1~∞)の閉方がXと一致することを示せばよいことは分かるのですが、どうにもうまくいきません。手法だけでも教えていただければと思います。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mme********さん

2018/8/214:22:57

{xn} の閉包を F とすると F は閉集合なのでその補集合 U=X-F は開集合です。
F が {xn} をすべて含んでいるので U はどの xn も含みません。仮定よりこのような開集合は空集合しかないので U=∅ が分かります。したがって F=X であり、つまり {xn} は dense です。

ちなみに集合 S が dense であることの同値な言い換えとして「任意の空でない開集合 U に対して S∩U≠∅」 というのがあります

質問した人からのコメント

2018/8/2 18:22:49

とても簡潔で分かりやすい回答をありがとうございました。
十分に納得することができました。
同値な条件まで与えていただきありがとうございます。

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